Alimentador de Quatro Fios

Se o painel for alimentado por um alimentador de quatro fios (quente, quente, neutro, terra), então sim, o terra e o neutro devem estar separados no segundo painel.

Se o painel for protegido por GFCI e alimentado por um alimentador de quatro fios. Misturar os neutros e aterramentos no painel, quase certamente fará com que o GFCI desarme. Ao misturar terras e neutros, você basicamente uniu as barras de aterramento e barramento neutro. Isso faz com que a corrente de neutro seja dividida entre os condutores de aterramento e neutro do alimentador. O que significa que o dispositivo GFCI não verá corrente suficiente no neutro e abrirá o circuito.

Alimentador de Três Fios

Se esta for uma instalação mais antiga, onde o painel é alimentado por um alimentador de três fios (quente, quente, neutro), a barra de barramento de neutro deve ser ligada à barra de terra. Neste caso, os motivos de mistura e os neutros são uma estética ruim, mas não uma violação de código.

Se o painel for protegido por GFCI e alimentado por um alimentador de três fios. Áreas de mistura e neutros não devem atropelar o GFCI.

Sim, no sub-painel, o neutro deve ser mantido separado.

O aterramento do subpainel e o neutro precisam ser mantidos separados - o neutro é o caminho de retorno, o aterramento é um dreno de segurança se você não pretende que seja energizado no caso normal. (Na analogia hidráulica, o neutro é o tubo de drenagem que sai da máquina e o solo é o dreno do piso sob a máquina, no caso de vazamento.)

Essa confusão também explica por que o seu GFCI está tropeçando - o GFCI está vendo a corrente que não está retornando, pois está sendo desviado pela rede de aterramento.

(P.S. fique feliz que seu subpainel não tenha desenvolvido um neutro aberto, já que a conexão cruzada atual produziria resultados bastante chocantes se isso acontecesse).