Da Embaixada dos EUA em Londres , mas presumivelmente aplicável à sua situação:
If you wish to pursue practical training through an internship with a U.S. based employer you will require either an exchange visitor (J-1) or trainee (H-3) visa. Such activities cannot be conducted on a B-2 visa or visa free under the Waiver Program, even if you will receive no payment from a U.S. source.
Para que seja trabalho "voluntário", que em alguns casos é coberto pelo VWP, deve ser trabalho normalmente realizado por voluntários, por exemplo, ver esta questão . Ou seja, se alguém que faz o mesmo trabalho que você é pago, você não pode fazer esse trabalho sob o VWP, independentemente de ser ou não pessoalmente pago por isso.
Aqui está outra referência da embaixada dos EUA que enfatiza o fato de que nenhum tipo de trabalho deve ser realizado no VWP, mesmo trabalho não remunerado, trabalho em troca de hospedagem e alimentação, etc:
Unpaid Work is Work – Make Sure You Have the Correct Visa (March 10, 2015)
Planning to work for room and board on a farm or as an Au Pair/Nanny? Do Woofing? An internship? Even if you stay less than 90 days, these activities are considered work and require the appropriate visa. Visa Waiver Program travelers entering the United States with ESTA authorization are not allowed to work. If you are a Summer Work Travel participant (J-1 visa) you may only work in jobs approved by your designated U.S. sponsor. Informal arrangements to work in exchange for lodging or meals are also considered unauthorized employment and are not permitted for tourists.
Não sei se há algo que você possa fazer em tão pouco tempo. Se esta empresa não forneceu informações, documentação e conselhos adequados para permitir que você obtenha o visto adequado, provavelmente não quer trabalhar para eles.