Não
Uma pesquisa da transcrição de O Cavaleiro das Trevas revela 37 menções da palavra "Coringa", mas todas são ditas por outras pessoas além do próprio Coringa.
O script indica que outros "o chamam de Coringa", não que seja um nome que ele escolheu para si mesmo:
DOPEY: I know why they call him the Joker.
HAPPY: So why do they call him the Joker?
DOPEY: I heard he wears makeup.
HAPPY: Makeup?
DOPEY: Yeah! to scare people. You know, war paint?