Eu sempre presumi que não. Anakin teria sido conhecido nos círculos Jedi, mas fora disso, ele não estava por perto o tempo suficiente para se tornar conhecido em toda a galáxia com seu nome de nascimento. Mesmo quando ele obteve algum reconhecimento oficial e público, os eventos dos anos vindouros teriam colocado isso em segundo plano. Especialmente desde que o Imperador demonizou os Jedi e eliminou tudo sobre eles, ele conseguiu encontrar.
Leia pede para Obi wan ajudar, ele vem junto com Han e Luke. Seu sucesso em escapar da Estrela da Morte, recuperar os planos e destruir a Estrela da Morte, juntamente com o que poderia ser descrito como patrocínio de Leia, uma princesa alderaana, membro do Senado Imperial e membro do Alto Comando da Rebelião, acredito que foi o que impulsionou Luke e Han em posições seniores rapidamente.
Ou Skywalker é um nome bastardo como Snow ou Storm em Game of Thrones? :)