Sim, você pode manter seu passaporte antigo enquanto o novo passaporte estiver sendo processado, desde que você tenha confirmado sua viagem.
Pelo site USEmbassy.gov :
Second passports may be issued if:
A passport is needed both for confirmed travel and submission for foreign visa applications simultaneously;
The primary passport is held by the U.K. government or foreign embassy and the applicant has confirmed travel; and/or
The applicant has confirmed travel plans to a foreign country which will deny a visa or entry to the bearer of a passport containing markings or visas showing travel to certain other countries.
A citação menciona o governo do Reino Unido porque é para cidadãos americanos que estão no Reino Unido. Mas, em princípio, é o mesmo: se o seu passaporte está sendo mantido pelo governo, você pode obter um segundo passaporte, desde que tenha confirmado a viagem.