Como você é um cidadão britânico que nasceu no Reino Unido, não é necessário passaporte para viajar para a República da Irlanda, contanto que você tenha outra forma de identificação com foto (por exemplo, uma carteira de motorista com foto). O mesmo se aplica aos cidadãos irlandeses que viajam para o Reino Unido, mas não para qualquer outra nacionalidade.
(Observe que estes são requisitos de imigração e sua companhia aérea pode impor requisitos diferentes (por exemplo, a Ryanair
O site da FlyBe diz:
British and Irish citizens must have a form of photographic ID which proves their nationality/citizenship for immigration purposes e.g. a valid passport or fulll/provisional photographic driving licence. (source: http://www.flybe.com/checkin/id-requirements.htm)
O Ministério das Relações Exteriores também declara que é melhor tirar um passaporte se você não nasceu no Reino Unido:
British nationals travelling from the UK don’t need a passport to visit Ireland. However, Irish immigration officers will check the ID of all passengers arriving by air from the UK and may ask for proof of nationality, particularly if you were born outside the UK. You are therefore advised to take your British passport with you. (source: https://www.gov.uk/foreign-travel-advice/ireland/entry-requirements)