Infelizmente, não há muito que você possa fazer, os consulados de Schengen não podem recusar um visto sem fornecer uma razão específica e oferecer uma maneira de apelar da decisão, mas eles podem praticamente emitir o que quiserem sem explicação. Há vistos de entrada múltipla para vários anos com validade de até 5 anos especificamente destinados a pessoas na sua posição (residentes no Reino Unido, viagens de negócios frequentes), mas é improvável que você consiga um na primeira vez.
O melhor que você pode fazer é usar os vistos que você já tem, obedecendo escrupulosamente as regras e depois de mostrar que é um candidato confiável usando vários vistos corretamente, você tem mais chances de obter um visto de entrada múltipla. Quando você se inscreve, peça (há uma caixa para isso no formulário de inscrição) e forneça o máximo de documentação possível (com relação à sua situação no Reino Unido e por que você precisa fazer essas viagens).
Na prática, o país para o qual você se inscreve provavelmente também desempenha um pequeno papel, alguns países rotineiramente emitem vistos de entrada múltipla para residentes no Reino Unido, outros são mais mesquinhos. Mas não há muito o que fazer sobre isso sem alterar seus planos, pois você precisa se inscrever no país que deseja visitar.