Não, você não cai para 0HP, cai inconsciente, e falha na morte.
Quando você é reduzido a 0HP, uma de duas coisas acontece: você fica inconsciente ou morre de imediato. Não há nenhum dano "excessivo" com o qual se preocupar, exceto no que diz respeito à regra da "morte instantânea".
Podemos saber isso voltando uma página antes:
Então, vamos considerar o hipotético na sua pergunta: seu personagem tinha 5hp, recebe 6 de dano e, portanto, está em 0HP (por regra: HP atual é um número não negativo). A quantidade além do que a teria colocado em 0HP é menor que seu HP máximo, então ela não morre instantaneamente. Mas não há "excesso" para se preocupar: todos os 6 pontos de dano já foram causados, e o resultado foi o HP atual para zero.A creature's current hit points can be any number from its hit point maximum down to zero....
Whenever a creature takes damage, that damage is subtracted from its hit points. (PHB p.196, "Hit Points")
Ela está inconsciente e agora está vulnerável a testes de resistência à morte, seja por receber mais dano ou por iniciar turnos em 0HP.