Parabéns, parece que seu filho tem cidadania dupla dos EUA e da França. Isso lhe trará várias vantagens mais tarde na vida, e você fará um favor a ele garantindo que ele tenha acesso total às proteções dos dois países.
Se a sua agenda permitir, você deve obter o passaporte francês de seu filho antes de ir. Se você não tiver tempo, você ainda deve obtê-lo. Isso pode ser feito na embaixada ou consulado francês onde você mora nos EUA. De qualquer forma, você deve fazer isso antes que ele complete 18 anos.
Mesmo que você não tenha tempo para obter o passaporte francês, seu filho ainda pode viajar com o passaporte americano. Como você deve saber, os cidadãos americanos podem entrar no espaço Schengen sem visto por 90 dias a cada período de 180 dias.
Os cidadãos da UE que visitam outros países do espaço Schengen têm tecnicamente um requisito semelhante, mas os cidadãos da UE também têm direitos convencionais que são ativados em determinadas circunstâncias (por exemplo, mudanças para fins de trabalho).
É claro que você provavelmente terá o questionamento prolongado para o qual planeja trazer a certidão de nascimento. Este problema desaparece se você conseguir obter seu passaporte francês antes de sua viagem.