Cobrar como uma ação regular
Você encontrou o que há para encontrar: "Cobrança" não é uma ação comum que você pode realizar.
A concepção comum parece ser que um personagem do jogador não é grande o suficiente para cobrar algo de forma eficiente. Na verdade, a maioria (para não dizer tudo - não consegui encontrar nenhum que não fosse pelo menos Grande, mas eu não gosto de dizer "todos") das bestas com o recurso Carga são grandes bestas, enquanto os personagens dos jogadores são apenas médios . Exemplo de recurso de cobrança do Elk:
Charge. If the Elk moves at least 20 feet straight towards a target and then hits it with a ram attack on the same turn, the target takes an extra 7 (2d6) damage. If the target is a creature, it must succeed on a DC 13 Strength saving throw or be knocked prone.
O Cavaleiro - Carregador Feraz
Adicional ao talento de carregador, o subtipo Cavalier de Fighter, descrito em Xanathar's Guide to Everything, p. 30 e 31, tem o recurso Ferocious Charger:
Starting at 15th level, you can run down your foes, whether you’re mounted or not. If you move at least 10 feet in a straight line right before attacking a creature and you hit it with the attack, that target must succeed on a Strength saving throw (DC 8 + your proficiency bonus + your Strength modifier) or be knocked prone. You can use this feature only once on each of your turns.
Este é provavelmente o mais próximo que você pode obter do recurso Charge de bestas, embora ele não adicione dano extra e só chegue no 15º nível, então você pode ficar desapontado.
Portanto, TL; DR: A cobrança é um recurso especial de uma classe específica ou você pode receber o talento Carregador, mas não é uma ação comum que qualquer pessoa pode realizar .
O cenário Move + Shove
Como uma observação, gostaria de abordar esta afirmação:
In other words, the player's running momentum is completely decoupled from the shove and gives them no advantage.
A página 173 do PHB descreve a vantagem e a desvantagem em detalhes. Em particular
The DM can also decide that circumstances influence a roll in one direction or the other and grant advantage or impose disadvantage as a result.
Então, por exemplo, se o mestre descobre que meio-orc se movimentando e empurrando (semelhante a carregar) em um gnomo (que é pequeno) deve dar alguma vantagem ao meio-orc, decidindo que o teste de atletismo é feito com vantagem para o meio-orc (ou desvantagem para o gnomo, uma vez que é uma competição) não é nem mesmo uma regra de casa, é apenas uma decisão baseada na RAW do livro.
Ou seja, você não precisa de uma regra escrita para conceder vantagem ou desvantagem, as regras já cobrem o fato de que o Mestre pode concedê-las com base em circunstâncias que considerem relevantes.