Quem seria o rei de Rohan após a morte de Theoden?

Then a minstrel and loremaster stood up and named all the names of the Lords of the Mark in their order: Eorl the Young; and Brego builder of the Hall; and Aldor brother of Baldor the hapless; and Fréa, and Fréawine, and Goldwine, and Déor, and Gram; and Helm who lay hid in Helm’s Deep when the Mark was overrun; and so ended the nine mounds of the west-side, for in that time the line was broken, and after came the mounds of the east-side: Fréalaf, Helm s sister-son, and Léofa, and Walda, and Folca, and Folcwine, and Fengel, and Thengel, and Théoden the latest. And when Théoden was named Éomer drained the cup. Then Éowyn bade those that served to fill the cups, and all there assembled rose and drank to the new king, crying: 'Hail, Éomer, King of the Mark!'

^{Return of the King Book VI Chapter 6: "Many Partings"}

Embora seja importante notar que Éomer é na verdade o sobrinho de Théoden, não seu filho. O filho de Théoden foi Théodred, que morreu fora da tela (ou fora da página) durante o eventos da Sociedade do Anel

Só há uma vez em que posso pensar onde seria sensato dizer que Éowyn sucedeu Théoden como rei (bem, rainha), e isso está em Duas Torres quando Théoden e Éomer partem para a casa de Helm. Deep:

'Behold! I go forth, and it seems like to be my last riding,' said Théoden. 'I have no child. Théodred my son is slain. I name Éomer my sister-son to be my heir. If neither of us return, then choose a new lord as you will. But to some one I must now entrust my people that I leave behind, to rule them in my place. Which of you will stay?'

No man spoke.

'Is there none whom you would name? In whom do my people trust?'

'In the House of Eorl,' answered Háma.

'But Éomer I cannot spare, nor would he stay,' said the king; 'and he is the last of that House.'

'I said not Éomer,' answered Háma. 'And he is not the last. There is Éowyn, daughter of Éomund, his sister. She is fearless and high-hearted. All love her. Let her be as lord to the Eorlingas, while we are gone.'

'It shall be so,' said Théoden. 'Let the heralds announce to the folk that the Lady Éowyn will lead them!'

^{The Two Towers Book III Chapter 6: "The King of the Golden Hall"}

Mas, como indicado pela conversa acima, ela foi escolhida para liderar apenas porque Éomer, herdeiro nomeado do rei, foi para a guerra. Podemos imaginar que, se Ele tivesse sido morto na Batalha do Pelennor, Éowyn teria subido ao trono.

Sim, Éomer tornou-se rei de Rohan após a morte de Theoden.

Then a minstrel and loremaster stood up and named all the names of the Lords of the Mark in their order: Eorl the Young; and Brego builder of the Hall; and Aldor brother of Baldor the hapless; [...] and Thengel, and Theoden the latest. And when Theoden was named Eomer drained the cup. Then Eowyn bade those that served to fill the cups, and all there assembled rose and drank to the new king, crying: "Hail, Eomer, King of the Mark!"
_{-- The Return of the King, Book Six, Chapter 6: Many Partings}

Existem duas linhas de túmulos nos salões onde os reis da Marca estão enterrados. Cada linha representa a descendência linear, de pai para filho. A primeira linha começa com Eorl. Quando essa linha foi quebrada, como não havia filho vivo, a segunda linha começou. A segunda linha terminou com Theoden porque ele não tinha filho vivo. Éomer começou a terceira linha.

Parece que Éowyn foi nomeado regente até que o resultado da batalha seja conhecido. Se a batalha for bem e Théoden retornar, ele continuará em sua posição como rei. O que não ficou claro para mim foi o que ele quis dizer quando a batalha ficou doente; a batalha vai mal significa que ele morre, ou que ele e Éomer são mortos? A julgar pela história, o posterior foi o caso, como Éomer sobrevive e se torna rei.