O Ministério tinha que descobrir quais pessoas que trabalhavam com Comensais da Morte eram Imperiused.

“Years back, there were a lot of witches and wizards being controlled by the Imperius Curse,’ said Moody, and Harry knew he was talking about the days in which Voldemort had been all-powerful. ‘Some job for the Ministry, trying to sort out who was being forced to act, and who was acting of their own free will.”
_{^{- Harry Potter and the Goblet of Fire, Chapter 14 (The Unforgivable Curses)}}

Muitos Comensais da Morte alegaram ser Imperiados para evitar a sentença, e o Ministério teve que descobrir quais pessoas realmente eram.

“Avery – from what I’ve heard he wormed his way out of trouble by saying he’d been acting under the Imperius Curse – he’s still at large.”
_{^{- Harry Potter and the Goblet of Fire, Chapter 27 (Padfoot Returns)}}

Todos que trabalhavam no Ministério provavelmente estavam familiarizados com a Maldição Imperius, porque eles ou seus colegas estariam envolvidos em descobrir quem estava abaixo dela. Arthur pode não ter participado ativamente de descobrir quem eram Comensais da Morte e quem não era, mas ele ainda estava trabalhando no Ministério onde os efeitos da Maldição Imperius teriam sido de conhecimento comum.

Os Comensais da Morte realmente utilizaram a Maldição Imperius como parte de suas táticas, por exemplo em Broderick Bode.

“Bode could never have taken it, Master … Bode would have known he could not … undoubtedly, that is why he fought so hard against Malfoy’s Imperius Curse …”
_{^{- Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 26 (Seen and Unforeseen)}}

Além disso, os Comensais da Morte também o usaram em funcionários do Ministério, como Pius Thicknesse, para ganhar poder e controle sobre o Ministério. Assim, parece plausível que, durante a primeira guerra, todos os funcionários do Ministério fossem instruídos a observar os sinais de seus colegas sendo Imperiados.

“My Lord, I have good news on that score. I have – with difficulty, and after great effort – succeeded in placing an Imperius Curse upon Pius Thicknesse.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 1 (The Dark Lord Ascending)}}

Eles planejaram também colocar mais funcionários do Ministério sob seu controle, então parece provável que durante a primeira guerra, o Ministério tenha instruído sua equipe a observar seus colegas possivelmente sendo Imperiados. Se esse fosse o caso, então todos os departamentos provavelmente receberiam os mesmos avisos, que também alcançariam Arthur Weasley, já que ele era um funcionário do Ministério.

“It is a start,’ said Voldemort. ‘But Thicknesse is only one man. Scrimgeour must be surrounded by our people before I act. One failed attempt on the Minister’s life will set me back a long way.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 1 (The Dark Lord Ascending)}}

Durante a segunda guerra, por exemplo, eles colocaram pessoas dentro do Departamento de Transporte Mágico, possivelmente por possuí-las.

“We now have several people planted within the Department of Magical Transport. If Potter Apparates or uses the Floo Network, we shall know immediately.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 1 (The Dark Lord Ascending)}}

Ao usar a Maldição Imperius, os Comensais da Morte podem organizar um golpe bem-sucedido e furtivo do Ministério.

“The coup has been smooth and virtually silent,’ said Lupin. ‘The official version of Scrimgeour’s murder is that he resigned; he has been replaced by Pius Thicknesse, who is under the Imperius Curse.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 11 (The Bribe)}}

A citação como você fez no começo não estava correta. Não há "ele", então não foi o próprio Arthur Weasley que deu ao Ministério "um monte de problemas".

Veja a citação relevante do livro:

"So . . . do any of you know which curses are most heavily punished by wizarding law?"
Several hands rose tentatively into the air, including Ron's and Hermione's. Moody pointed at Ron, though his magical eye was still fixed on Lavender.
"Er," said Ron tentatively, "my dad told me about one. . . . Is it called the Imperius Curse, or something?"
"Ah, yes," said Moody appreciatively. "Your father would know that one. Gave the Ministry a lot of trouble at one time, the Imperius Curse."

_{Harry Potter and the Goblet of Fire, chapter 14, "The Unforgivable Curses"}

O pronome faltante implícito não é "ele", mas "ele", referindo-se à própria Maldição Imperius. Foi a Maldição Imperius que deu muito trabalho ao Ministério da Magia, como entendido por Harry alguns parágrafos no mesmo capítulo.

"Years back, there were a lot of witches and wizards being controlled by the Imperius Curse," said Moody, and Harry knew he was talking about the days in which Voldemort had been all-powerful. "Some job for the Ministry, trying to sort out who was being forced to act, and who was acting of their own free will."

_{Harry Potter and the Goblet of Fire, chapter 14, "The Unforgivable Curses"}

Desde que Arthur Weasley trabalha no Ministério, ele realmente saberia tudo sobre essa maldição.

Todos no Ministério teriam alguma experiência em lutar contra a Maldição Imperius.

Como as outras respostas aqui dizem, a Maldição Imperius estava sendo amplamente usada pelos Comensais da Morte durante a Primeira Guerra Bruxa. Eu pensei em acrescentar algumas informações adicionais sobre o porquê de que Arthur Weasley poderia ter conhecimento sobre essa maldição específica de Dark.

A imagem que Sirius pinta do Ministério naquela época é de total desordem.

He walked once up the cave, back again, and then said, "Imagine that Voldemort's powerful now. You don't know who his supporters are, you don't know who's working for him and who isn't; you know he can control people so that they do terrible things without being able to stop themselves. You're scared for yourself, and your family, and your friends. Every week, news comes of more deaths, more disappearances, more torturing...the Ministry of Magic's in disarray, they don't know what to do, they're trying to keep everything hidden from the Muggles, but meanwhile, Muggles are dying too. Terror everywhere...panic...confusion...that's how it used to be."
_{(Goblet of Fire, Chapter 27, Padfoot Returns).}

Podemos aprender algumas coisas desta citação. Em primeiro lugar, os Comensais da Morte estavam usando a Maldição Imperius em uma base quase rotineira. Ninguém sabia quem estava sob ele e todos estavam sob constante suspeita.

Em segundo lugar, o Ministério estava sob muita pressão durante este período de tempo. Grande parte de sua energia foi gasta na tentativa de manter uma guerra bruxa extremamente violenta e sangrenta escondida dos trouxas. Eles conseguiram isso, mas teria levado uma quantidade extraordinária de mão de obra. Aqueles que não escondem a guerra estariam envolvidos em combatê-la. Parece muito provável, neste clima, que os funcionários do Ministério teriam sido retirados de seus trabalhos diários para se concentrar no esforço de guerra. Isso significa que praticamente todos os funcionários do Ministério teriam sido forçados a se familiarizar com a Maldição Imperius, seus sintomas e como combatê-la.

Molly nos dá um quadro semelhante de um Ministério de guerra que está sob pressão.

Neither Mr Weasley nor Percy was at home much over the following week. Both left the house each morning before the rest of the family got up, and returned well after dinner every night.
[...]
"Your father hasn't had to go into the office at weekends since the days of You-Know-Who," she said. "They're working him far too hard. His dinner's going to be ruined if he doesn't come home soon."
_{(Goblet of Fire, Chapter 10, Mayhem at the Ministry).}

Observe o título do capítulo, mostrando que o Ministério estava mais uma vez em estado de desordem, como foi durante a Primeira Guerra Bruxa. Note também o fato de que o Sr. Weasley está sobrecarregado e continuamente ocupado. O Ministério está combatendo incêndios em todo o lugar (literalmente, no caso de Percy). Ele não estava apenas fazendo as tarefas rotineiras de seu trabalho normal. Ele também estava preenchendo para outros colegas e ajudando como as coisas surgiram. Durante a Primeira Guerra Bruxa, isso incluiria lutar contra a Maldição Imperius.

RichS pergunta em um comentário porque os aurores não teriam feito esse trabalho. A resposta é que, claro, eles fizeram . Mas seu foco estava certamente no conflito da linha de frente, na luta e na prisão de Comensais da Morte conhecidos. Eles não teriam muito tempo para investigar casos suspeitos da Maldição Imperius.