Eu duvido muito que a Honeywell projetasse o sistema de propósito para desconectar da rede com base na temperatura ambiente (MAS: eu posso estar errado sobre isso!).
Dito isto, pode ser que o seu roteador ou o termostato estejam começando a ter dificuldades técnicas se a temperatura cair muito baixo. Se você tem um por aí, tente um roteador diferente, ou talvez seja o suficiente para apenas alterar a configuração do canal em que você está. Ou aproxime-o do termostato, mesmo que seja apenas para testes, passando um longo cabo pela casa.
Alguns antecedentes: Tanto o roteador quanto o termostato precisam ter um chip interno (chamado clock source) que lhes dê uma referência para gerar o sinal ~ 2.4 GHz para se comunicar. Tipo como um metrônomo que um pianista usa para tocar no bpm certo. A frequência do sinal de referência que esses chips geram depende da temperatura do chip, que por sua vez depende da temperatura ambiente em sua casa. Dependendo de quão barato é o chip, essa mudança de referência pode ser suficiente para que os dois dispositivos não possam mais se comunicar de maneira confiável. Pense em girar lentamente o dial do seu rádio para fora da estação que você está ouvindo. Você ainda pode ouvir música por um tempo, mas, eventualmente, ela será cortada.
Se você descobrir que é o roteador, uma coisa que você pode fazer é colocá-lo em uma caixa de papelão. Isso vai prender o calor que o roteador gera dentro e mantê-lo um pouco mais quente. Apenas certifique-se de que ele não superaqueça quando estiver realmente quente na casa. Infelizmente, se for a falha do termostato, você não pode colocar isso em uma caixa, já que não será mais capaz de medir a temperatura externa. Mas trocar seu roteador (por um mais barato) ainda pode consertá-lo. A que temperatura o sistema para de funcionar depende da configuração exata dos dispositivos envolvidos.