Vou responder a isso apenas do ponto de vista da regulamentação de segurança da aviação. Há muitas considerações mais amplas, como juristas criminais, emprego e leis ambientais, que terão respostas diferentes. Também vou acrescentar que minha experiência é com a situação australiana, mas não acho que isso varie muito em todo o mundo - feliz por ser corrigido.
Então, com tudo isso considerado, a resposta é ... meio que os dois! A resposta curta é que eles devem seguir os procedimentos operacionais diretos do país em que estão voando, mas alguns regulamentos de "back office" não se aplicam.
Em primeiro lugar para ICAO. Esta organização não está realmente preocupada com companhias aéreas individuais. Seu objetivo principal é estabelecer padrões internacionais para os reguladores individuais implementarem. Mas essas Normas e Práticas Recomendadas (SARPs) não são aplicáveis - estados individuais podem simplesmente apresentar uma 'diferença' e continuar a fazer suas próprias coisas. Outro trabalho importante das OACIs é basicamente regular o regulador, dando-lhes uma classificação de quão seguras elas são. A FAA e a EASA também realizam suas próprias auditorias para o mesmo fim.
Cada companhia aérea precisa ser certificada em seu país de origem com um Certificado de Operador Aéreo (ou Certificado Parte 121, ou as muitas outras variantes ao redor do mundo). Parte desse processo envolve a aprovação de praticamente todos os procedimentos que a aeronave faria em operações normais - incluindo os procedimentos em portos internacionais. Isso significa que, para uma companhia aérea australiana que deseja voar para o LAX, o regulador australiano CASA deve inspecionar o porto e aprová-lo para uso, verificando se o que a companhia aérea propôs está em conformidade com os procedimentos do aeroporto local.
Assim, uma vez que as operações no LAX tenham sido aprovadas pelo CASA, a companhia aérea então se aproxima da FAA para uma aprovação estrangeira AOC / Parte 121, etc. (não tenho certeza da convenção de nomes dos EUA). Este processo de certificação para um certificado estrangeiro quase sempre não é tão próximo quanto a versão completa. Muito disso depende do regulador dos países de origem e do seu estatuto na ICAO ou na FAA / EASA. Se a FAA sabe que o país de supervisão está pronto, a emissão do certificado estrangeiro pode ser apenas um exercício de tick e flick.
Este status 'estrangeiro' desta aprovação é a chave para sua pergunta, porque muitos regulamentos são escritos como "o operador Parte 121 deve ..." e NÃO necessariamente "o operador Parte Estrangeira 121 deve ..."
Tome uma respiração agora e tente seguir isto. Na maioria das ocasiões, a aprovação estrangeira diz que a companhia aérea deve operar de acordo com o que foi aprovado pelo CASA. Mas, os procedimentos aprovados pelo CASA já estão adaptados às operações específicas do LAX! Então você pode ver que a companhia aérea australiana tem que obedecer às condições de sua aprovação pela FAA, que é seguir as operações estabelecidas pelo CASA, que é seguir os procedimentos dos EUA!
Mas e se o CASA e a FAA tiverem regulamentos diferentes? Nós temos requisitos diferentes para coisas como gerenciamento de fadiga. Os pilotos que recebem uma autorização médica aqui podem não receber um da FAA. Esses “riscos” são praticamente aceitos pelos reguladores como extremamente improváveis de derrubar um avião em seu território, dado o pequeno número de vôos por semana que eles farão. Em circunstâncias extremas, a FAA poderia colocar algum tipo de condição na aprovação para mitigar ainda mais o risco de regulamentações divergentes.