Se você está fazendo sua bebida com matcha verdadeiro, esse matcha é muito finamente moído. Há partes das folhas de chá que sempre serão insolúveis na água e, portanto, eventualmente, caem para o fundo e criam essa lama à qual você está se referindo. As únicas soluções para essa questão seriam 1) filtrar a solução para remover os sólidos insolúveis ou 2) permitir que os sólidos insolúveis se depositem no fundo e decantar a bebida acima dessa lama num outro recipiente. O esforço não é suficiente quando você está lidando com partículas muito finas, já que as aberturas nos filtros só permitiriam que essas partículas passassem direto.
Se, no entanto, você não estiver usando matcha verdadeiro e for completamente solúvel em água (talvez uma preparação liofilizada do chá) não haverá lodo. Eu suspeitaria que a Starbucks não está produzindo chá verde com matcha verdadeira para cada porção.