Do Frodo e Legolas tem alguma discussão em todo o Senhor dos Anéis?

Sim.

No Rio Grande, depois da primeira emboscada dos Orcs (que não aparece no filme) e depois que Legolas derruba a Besta de Nazguls (da mesma forma), temos a seguinte troca (a conversa começa com Sam):

'Well, I can remember three nights there for certain, and I seem to remember several more, but I would take my oath it was never a whole month. Anyone would think that time did not count in there!'

'And perhaps that was the way of it,' said Frodo. 'In that land, maybe, we were in a time that has elsewhere long gone by. It was not, I think, until Silverlode bore us back to Anduin that we returned to the time that flows through mortal lands to the Great Sea. And I don't remember any moon, either new or old, in Caras Galadhon: only stars by night and sun by day.'

Legolas stirred in his boat. 'Nay, time does not tarry ever,' he said; 'but change and growth is not in all things and places alike. For the Elves the world moves, and it moves both very swift and very slow. Swift, because they themselves change little, and all else fleets by: it is a grief to them. Slow, because they do not count the running years, not for themselves. The passing seasons are but ripples ever repeated in the long long stream. Yet beneath the Sun all things must wear to an end at last.'

'But the wearing is slow in Lórien,' said Frodo. 'The power of the Lady is on it. Rich are the hours, though short they seem, in Caras Galadhon, where Galadriel wields the Elven-ring.'

Além disso, há muitas outras ocasiões em que Frodo e Legolas estavam juntos e claramente tiveram oportunidade de conversar, mas o que eles podem ou não disseram não está registrado; aqui eu dou apenas dois como exemplos:

• Durante o vigia de Frodo em Moria ele vê primeiro Gollum (ou pelo menos o que pode ser deduzido de seus olhos); Legolas leva o próximo relógio.
• Ao entrar em Lorien e depois de ser atacado pelos Elfos, Frodo e Legolas são os dois primeiros a escalar um flet , e eles escalam juntos.

Apesar do fato de que qualquer conversa não é registrada, isso não significa que isso não tenha acontecido (a ausência de evidência não é evidência de ausência) e seria muito estranho se eles não conversassem pelo menos pelo primeiro destes exemplos.

Bem (nos livros) há também o tempo em Lothlórien depois que eles cruzam o rio de Nimrodel.

Almost Frodo fancied that he could hear a voice singing, mingled with the sound of the water.

'Do you head the voice of Nimrodel?' asked Legolas. 'I will sing you a song of the Maiden Nimrodel, who bore the same name as the stream beside which she lived long ago. It is a fair song in our woodland tongue; but this is how it runs in the Westron Speech, as some in Rivendell now sing it.' In a voice hardly to be heard amid the rustle of the leaves above them he began: [song is sang]

The voice of Legolas faltered, and the song ceased. 'I cannot sing any more,' he said. 'That is but a part, for I have forgotten much. It is a long and sad, for it tells how sorrow came upon Lothlórien, Lórien of the Blossom, when the Dwarves awakened evil in the mountains.'

Eu realmente vejo de onde você vem. Ainda assim, duvido que você tenha lido o livro, pois no livro Legolas e Frodo têm algumas conversas. Nos filmes, Legolas não é exatamente um papel principal ou principal. As únicas conversas que Elijah Wood (Frodo) fez foram com GOLLUM, indo para o Monte Doom, Sam durante todo o filme, Gandalf em algumas partes, e Aragorn e outros vários personagens.

Então, no filme, você está correto. A única frase que Legolas diz diretamente a Frodo é "E meu arco".