Não, o ataque extra só pode ser usado para atacar. Ataque extra diz:
Beginning at 5th level, you can attack twice, instead of once, whenever you take the Attack action on your turn.
Além disso, a habilidade da Arma do Sopro do Dragonborn diz:
You can use your action to exhale destructive energy.
Se Breath Weapon lhe desse, por exemplo, uma arma especial que você poderia usar para fazer ataques, isso funcionaria. Mas o que isso lhe dá é uma ação especial. Você pode usar essa ação para usar sua Arma de Respiração ou pode usar a ação de Ataque. Não há como fazer as duas coisas com uma única ação.