Ele provavelmente está morto, mas há uma possibilidade de que ele esteja vivo.

Acho que o texto deixa isso bem claro:

Adye leapt backwards, swung around, clutched at this little object, missed it, threw up his hands and fell forward on his face, leaving a little puff of blue in the air. Kemp did not hear the sound of the shot. Adye writhed, raised himself on one arm, fell forward, and lay still.
_{The Invisible Man, chapter 27: "The Siege of Kemp's House"}

Everything was safe and quiet. He returned to the belvedere. Adye lay motionless over the edge of the gravel just as he had fallen. Coming along the road by the villas were the housemaid and two policemen.
_{The Invisible Man, chapter 27: "The Siege of Kemp's House"}

Então, vemos que ele é baleado e que ele não está se movendo. Agora vemos que os personagens da história acham que ele morreu:

"The Invisible Man!" said Kemp. "He has a revolver, with two shots left. He's killed Adye. Shot him anyhow. Didn't you see him on the lawn? He's lying there."
"Who?" said one of the policemen.
"Adye," said Kemp.
_{The Invisible Man, chapter 27: "The Siege of Kemp's House"}

E esse é o último que ouvimos sobre Adye. Então, enquanto está implícito que ele morreu, há uma possibilidade de que ele esteja vivo, mencionado no livro em si. Então não podemos ter certeza.

embora mais tarde no romance, Adye é mencionado como uma das pessoas que foram entrevistadas com maravilha.