Por que Harry queria a Pedra Filosofal em primeiro lugar?

Primeiro de tudo, Harry não sabia sobre a magia que Dumbledore havia colocado no Mirror of Erised. Então, Harry, quando ele recuperou a pedra, fez isso por acidente.

Você está perguntando por que Harry foi buscar a pedra. Bem, simples, ele sabia que Dumbledore não estava em Hogwarts, mas no Ministério. Ele suspeitou que Snape fosse o único roubar a pedra. Ele não podia contar a outros professores porque ninguém confiaria em suas alegações contra Snape, não sem provas. E Harry estava apenas perto de Dumbledore para dizer qualquer coisa (acusando Snape) para ele, mas ele não estava por perto.

Então, Harry entrou no alçapão para pegar a pedra / parar Snape pegando a pedra. Dele motivação era a sua segurança. Foi um acidente que ele sem saber realizou a magia que recuperou a pedra do espelho.

Para resolver sua primeira pergunta:

why was Harry's desire to retrieve the stone in the first place?

Harry chegou lá em uma tentativa de impedir Snape de pegar a pedra, mas depois percebeu que Quirrell era quem estava realmente tentando obtê-la.

No entanto, a principal coisa é a motivação de Snape / Quirrel, como Harry adivinhou: o retorno de Voldemort. Dada a sua história (Voldemort matando os pais de Harry e tentando assassiná-lo), a intenção de Harry naquele momento é impedir o retorno de Voldemort.

Como ele não sabe do feitiço de Dumbledor, ele acredita que a única maneira de fazer isso é pegar a pedra antes do outro. Isso se traduz em seu maior desejo de "pegar a pedra (para parar Voldemort)".