Você não precisa de visto porque os dois países (e todos os países no meio, se você estiver indo por terra) estão no espaço Schengen. Em princípio, você não deve ficar em países Schengen (exceto na Suécia) por mais de 90 dias no total em qualquer período de 180 dias .
Em relação à segunda pergunta, há muitas possibilidades , você precisará decidir o que é mais importante para você ( conveniência, tempo, preço) e compare-os você mesmo ou faça uma nova pergunta com mais detalhes. O trem é factível (eu conheço pessoas que fizeram isso!) Mas caro e não particularmente conveniente, os ônibus são mais baratos, usar caronas ou pegar carona (pelo menos em parte da rota, talvez de Copenhague ou Hamburgo) deve ser mais barato ainda tudo bastante longo comparado ao plano.
Agora, se você quiser parar / visitar coisas no caminho, nada disso importa muito e o trem, o ônibus ou o carro podem estar bem. Você também pode considerar uma balsa diretamente de Gotemburgo para Kiel, ir de Trelleborg para Travemünde ou Rostock ou pegar uma balsa para a Dinamarca e continuar de lá.