Você pode ter uma cantrip redonda sempre ativa (antes da iniciativa)?

Sim.

No seu turno, você pode usar sua ação para lançar uma cantrip que você conhece. Não há limite em quantas vezes ou com que frequência você pode usar suas viagens. Seu movimento será impactado apenas porque você não poderá usar sua ação para se lançar (mas, conforme você se identifica, você ainda pode correr com sua ação de bônus).

Isso aborda o que você perguntou sobre a questão, mas aqui estão algumas outras preocupações que podem surgir como resultado da seleção de uma cantrip a cada rodada:

1. Você não pode usar sua ação para qualquer outra coisa. Você pode usar sua ação para fazer uma verificação de percepção, traçar, desengatar ou ocultar além do que a Ação de Astúcia permite ou interagir com mais de um objeto em uma rodada. Você não será capaz de fazer nenhuma dessas coisas em uma rodada em que lançou Lança de Lâmina.
2. Você precisa de uma mão livre para o componente somático. A menos que você tenha o talento Fundidor da Guerra, você precisa de uma mão livre para realizar os componentes somáticos da magia. Então você não poderia segurar duas armas, ou uma arma e escudo, ou uma arma e uma varinha de voar ou o que quer que seja, enquanto conjura esta mágica. Uma arma de duas mãos está bem - você pode segurá-la em uma mão enquanto joga.
3. Você precisa falar o componente verbal. Você pode alertar os inimigos da sua presença quando você fala o componente verbal da magia. Basicamente não há nenhuma orientação no jogo sobre o quanto você precisa pronunciar o feitiço, então fale com seu GM se você estiver preocupado com isso.
4. Você pode assustar as pessoas. O lançamento de Blade Ward a cada seis segundos sugere que você espera que você seja atacado nesse período de tempo. Isto provavelmente é bom enquanto você está fazendo reconhecimento aéreo, mas potencialmente assustador e desanimador se você estiver fazendo isto enquanto fazia compras na cidade. Note também que muitos NPCs podem não ser capazes de identificar qual mágica você está lançando. Do ponto de vista deles, poderia facilmente ser Dominate Person ou Fireball .
5. Você pode incomodar os membros do seu grupo. Eu estou imaginando passar o dia todo ao seu lado um cara que vai "ala de lâminas ... ala de lâminas ... ala de lâminas ..." O DIA TODO. Parece desagradável, mas esta é uma oportunidade de interpretação mais do que uma razão para não fazê-lo. Definitivamente diz algo sobre o seu personagem se você é o tipo de pessoa que gostaria de fazer isso.
6. Você pode estar distraído. Eu não acho que exista algum suporte RAW para essa ideia, mas alguns especialistas podem decidir que você está concentrando muito sua atenção em lançar o feitiço e dar a você uma penalidade para a percepção ou habilidades sociais como resultado. Mais uma vez, fale com o seu GM.

Sim, você poderia, mas ...

Isso afetaria seu movimento, mas apenas ao ponto em que você estaria se movendo na mesma proporção que todos os outros, já que você não seria capaz de rodar duas vezes como Rogue (Ação astuta e Ação Normal, ambos usando Dash). No entanto, vale a pena notar que esta magia tem um componente verbal e aqueles que têm que ser falados com alguma força, portanto, isso pode afetar sua jogada furtiva.

The words themselves aren’t the source of the spell’s power; rather, the particular combination of sounds, with specific pitch and resonance, sets the threads of magic in motion. PHB 203

Seu DM pode diferir disso, mas o palavreado em itálico, assim como a metamagia de Sorcerer, parecem implicar que você não pode "sussurrar" componentes verbais.

Essencialmente, a cada 6 segundos você está anunciando sua presença para potenciais usuários ambulatoriais.