O melhor ângulo de inclinação é de fato 45º.

Pode ser mostrado com relativa facilidade que isso dá o giro mais apertado para o ângulo de ataque constante , onde assumimos que o ângulo de ataque constante resulta em ângulo de descida constante também. Seria muito difícil mostrar a velocidade constante, e pode até não ser exatamente verdade nesse caso.

No entanto, isso não pode ser realmente separado da melhor velocidade. E a resposta surpreendente é que a velocidade stall (que é ~ 19% ($ \ sqrt [4] {2} $) maior que em vôo normal) dá menor perda de altitude para transformar determinado número de graus.

A razão é que o arrasto (próximo da velocidade de stall) é proporcional a $ \ frac {1} {v} $, mas o raio de giro é proporcional a $ v ^ 2 $, então à medida que você diminui, o raio diminui mais rapidamente, então o arrasto (e, portanto, a velocidade vertical) aumenta.

Referências:

• link
• É até mesmo remotamente viável a reversão de uma aeronave de motor único com uma falha de motor?

Não há solução geral, pelo menos sem outras suposições.

O que eu tenho até agora

• O problema depende do ângulo do banco e da velocidade no ar

• Podemos calcular a velocidade angular (taxa de giro) do ângulo do banco e da velocidade aerodinâmica

$$ \ omega = \ frac {g \ cdot tan ~ \ theta} {v_H} $$

• Podemos procurar a velocidade vertical a partir da curva polar (ângulo de correção do banco)

$$ v_V = \ frac {f (v_H \ cdot \ sqrt {cos ~ \ theta ~~})} {\ sqrt {cos ~ \ theta ~~}} $$

• Podemos calcular a proporção $ \ frac {\ omega} {v_V} $ que o autor da questão deseja maximizar para qualquer ângulo de velocidade e de banco.

Sem qualquer conhecimento do polar em forma analítica ou suposições, estamos presos aqui.

Prova

Seja $ \ theta $, $ a_N $, $ a_H $, $ a_V $ seja ângulo de banco, aceleração normal, horizontal e vertical. Suas relações são:

$$ a_V = a_N \ cdot cos ~ \ theta $$ $$ a_H = a_N \ cdot sin ~ \ theta $$

com $ a_V = 1g $

$$ a_N = \ frac {1} {cos ~ \ theta} \ cdot 1g $$

$$ a_H = a_N \ cdot sin ~ \ theta = \ frac {sin ~ \ theta} {cos ~ \ theta} \ cdot 1g = g \ cdot tan ~ \ theta $$

Deixa r $ e $ \ omega $ girar raio e velocidade angular. Seja $ v_H $ a velocidade no ar. A aceleração horizontal é a aceleração centrípeta por nossa vez, então:

$$ \ frac {v_H ^ 2} {r} = g \ cdot tan ~ \ theta $$

A velocidade angular (taxa de giro) é:

$$ \ omega = \ frac {v_H} {r} = \ frac {g \ cdot tan ~ \ theta} {v_H} $$

Seja $ v_V $ a taxa de afundamento que é uma função $ f $ da velocidade aerodinâmica. A função $ f $ é geralmente dada como curva polar . Para fatores de carga diferentes de $ 1g $, temos que escalá-lo pela raiz quadrada do fator de carga $ k $.

$$ k = \ frac {1} {\ sqrt {cos ~ \ theta ~~}} $$

$$ v_V = k \ cdot f \ left (\ frac {v_H} {k} \ right) $$

A pergunta feita está aberta à interpretação, por isso vou reformular primeiro para ter uma base sobre a qual basear. Seu último parágrafo me diz que você quer saber o ângulo ótimo da banca para obter a maior razão entre a taxa de giro e a perda de altitude em um planeio a uma dada velocidade.

Spoiler: Como os ângulos mais altos do banco exigem mais sustentação, e os aviões com melhor L / D são mais eficientes na produção de sustentação, o ângulo ideal do banco depende das qualidades aerodinâmicas da aeronave.

O que é dado

• Aeronave planadora ou motorizada com motor inoperante. O polar e o peso são conhecidos e não mudam com o tempo.
• Velocidade no ar. Isso resultará em um ótimo restrito - o melhor ângulo absoluto do banco exigirá uma velocidade adequada.

O que pode ser alterado

• Ângulo do banco $ \ varphi $ (obviamente - você está pedindo por isso)
• Levante $ L $ (novamente, obviamente. Você quer continuar no ar)

Solução

Eu ainda assumo um turno coordenado, para que possamos definir as equações de levantamento e arrasto. O arrasto é compensado selecionando-se um ângulo de trajetória de voo adequado $ \ gamma $ para converter o potencial em energia cinética para manter a velocidade constante. A velocidade angular $ \ Omega $ em um turno com o raio $ R $ é $$ \ Omega = \ frac {v} {R} = \ frac {g \ cdot \ sqrt {n_z ^ 2-1}} {v} $$ A perda de altura ao longo do tempo é a velocidade vertical $ v_z $, e isso pode ser calculado a partir da velocidade $ v $ e do ângulo da trajetória de vôo $ \ gamma $: $$ v_z = v \ cdot sen \ gamma $$ Como $ v $ é dado e constante, podemos reformular o problema como uma maximização da taxa de conversão ao longo do ângulo de trajetória de voo ou da velocidade de afundamento. Isso é equivalente à menor perda de altura para uma determinada mudança de azimute. $$ \ frac {\ Omega} {v_z} = \ frac {g \ cdot tan \ varphi} {sin \ gamma} $$

Antes de derivar isso, precisamos expressar $ \ gamma $ em termos de $ \ varphi $. Se tivéssemos a liberdade de ajustar a velocidade, poderíamos resolver diretamente para o ângulo ótimo do banco em L / D ideal. Agora, no entanto, a velocidade é fixa e L / D é o que o avião produz no elevador necessário. Já que para os planadores $ sin \ gamma = \ frac {c_D} {c_L} $, podemos escrever: $$ \ frac {\ omega} {v_z} = \ frac {g \ cdot tan \ varompi \ cdot c_L} {c_ {D0} + \ frac {c_L ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} = \ frac {g \ cdot sin \ vari \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S}} {c_ {D0} \ cdot cos ^ 2 \ varphi + \ frac {\ left (\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} $$ com $ c_L = \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S \ cdot cos \ varphi} $. Como a pressão dinâmica $ q $ é constante, podemos agora derivar em relação ao ângulo do banco. Com a regra da cadeia, obtemos uma fração e, como ela será definida como zero, é suficiente procurar a condição quando o numerador é zero: $$ g \ cdot cos \ varphi \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ cdot \ left ({c_ {D0} \ cdot cos ^ 2 \ varphi + \ frac {\ left (\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} \ right) = g \ cdot sin \ vari \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ cdot 2 \ cdot c_ {D0} \ cdot sin \ varphi \ cdot cos \ varphi $$ $$ \ frac {\ left (\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {c_ {D0} \ cdot \ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} = 2 \ cdot sin ^ 2 \ varphi - cos ^ 2 \ varphi = \ frac {1} {2} - \ frac {3} {2} cos2 \ varphi $$ $$ \ varphi = \ frac {1} {2} \ cdot arccos \ left (\ frac {1} {3} - \ frac {2 \ cdot \ left (\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S } \ right) ^ 2} {3 \ cdot c_ {D0} \ cdot \ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} \ right) $$ Isso obviamente não parece errado, mas eu poderia muito bem ter estragado o caminho para o resultado. Se você ligar os números de um avião que você conhece, você pode verificar se o resultado faz sentido.

O melhor ângulo de inclinação para uma aeronave planadora a ser usada para otimizar a taxa de giro e a taxa de afundamento pode ser generalizado em 45 °.

A razão para isto é que 45 ° é o ponto no qual o componente vertical da sustentação é igual ao componente horizontal da sustentação.

Em outras palavras, um ângulo de inclinação de 45 ° produzirá a maior força de rotação centrípeta (elevação horizontal) enquanto mantém a melhor taxa de afundamento (como uma função do componente vertical de elevação). Um ângulo de banco menor produzirá uma taxa de afundamento melhor, mas produzirá uma taxa de giro menor que diminui a uma taxa maior do que a taxa de afundamento melhora. Por outro lado, um ângulo maior do banco produzirá uma taxa de giro melhor, mas gerará uma taxa de afundamento maior que aumenta a uma taxa maior do que a taxa de afundamento.

Este fenômeno é puramente uma função do ângulo do banco, totalmente independente de outros fatores de design ou carga e, portanto, é válido para todas as aeronaves de asa fixa.

Editar: Esta pode ser uma resposta nominal, não representando pequenas variações nas curvas L / D, mas satisfaz minhas necessidades operacionais como um piloto passando por uma emergência onde eu manterá o "melhor planeio" ao longo de um turno e meu A margem de 45 ° é provavelmente de +/- 5 °.

O problema matemático não seria assim?

$$ V = L \ cos \ theta $$

$$ H = L \ sin \ theta $$

$$ R_S = k_1 (W - V) $$

$$ R_T = k_2 H $$

Maximize $ R_T / R_S $ em relação a $ \ theta $ dado constante $ L, k_1, k_2, W $

Notação:

• $ \ theta $ é o ângulo do banco
• $ L $ é o aumento
• $ H, V $ são horizontais & Componentes verticais do elevador
• $ W $ é o peso
• $ R_S $ é taxa de afundamento
• $ R_T $ é a taxa de conversão
• $ k_1, k_2 $ são constantes positivas

A matemática:

$ R_T / R_S $ é avaliado como

$$ \ frac {\ frac {k_2 L} {k_1} \ sin \ theta} {W - L \ sin \ theta} $$

Maximize esta expressão em relação a $ \ theta $.

PS. Quando faço as contas, recebo $ \ theta $ que maximiza a taxa de turnos por taxa de afundamento como ângulo de 90 graus.

Obviamente, estou atrapalhando minha matemática ou meu modelo. Eu devo estar errado. Talvez o meu erro fosse pegar $ L $ como constante? Eu suponho que $ L $ mude com o banco também?

Além disso, eu acho que as características da barraca devem importar? Talvez essa restrição adicional diria banco no ângulo máximo que não vai te atrapalhar?

PS. Isso é apenas parte da estimativa do envelope. Eu provavelmente estou sendo ingênuo ao não considerar as complexidades do problema.

Estou adicionando outra resposta que parece simplista demais, mas não consigo identificar por que ela está errada.

Aqui vai:

O termo que queremos maximizar é "menor perda de altura para uma dada mudança de azimute" & isto pode ser mostrado para ser a seguinte lógica emprestada de @PeterKampfs:

$$ \ frac {\ omega} {v_z} = \ frac {1} {R * sin \ phi} $$

onde $ \ phi $ é o ângulo de planeio.

Como o ângulo de planeio é conhecido, você deve minimizar $ R $ para maximizar o termo "menor perda de altura para uma dada mudança de azimute". Mas $$ R = \ frac {v ^ 2} {g * tan \ theta} $$

Assim, para minimizar R, maximize $ tan \ theta $ & portanto, maximize $ \ theta $. Então, eu recomendo bancar o máximo que puder.

Mas há uma restrição adicional introduzida pelo fato de que você não deve parar (obviamente). Você deve usar o máximo $ \ theta $, mas não acima de $ \ theta_ {stall} $

Deixe a velocidade de perda não acumulada em $ v_ {stall} $. Sob um turno de $ \ theta $ acumulado, a velocidade de stall aumenta para:

$$ v_ {stall} ^ {banked} = v_ {stall} * \ sqrt {n} $$

em que $ n $ é o fator de carga.

$$ n = \ frac {L} {mg} = \ frac {1} {cos \ theta} $$

Portanto, em um turno de $ \ theta $, a velocidade de estol será:

$$ v_ {stall} ^ {banked} = \ frac {v_ {stall}} {\ sqrt {cos \ theta}} $$

Por isso, o ângulo máximo de banco seria o que você deveria usar e isso seria:

$$ \ theta = arccos \ left (\ left (\ frac {v_ {stall}} {v} \ right) ^ 2 \ right) $$