Sim, você pode fazer isso, e não, não é necessário contar a ninguém que você fez isso.
Um visto dos EUA só é relevante como um documento de entrada - uma vez que você esteja nos EUA, ele não é mais relevante, e é seu I94 (físico ou, como geralmente é agora, a entrada relevante em um computador) que dita seu status nos EUA.
Quando você renovar seu passaporte, tanto seu visto americano (no passaporte antigo) quanto seu I94 permanecerão atualizados até as respectivas datas de validade.
Existe um problema em potencial, que é o que você mencionou - seu registro de saída I94 (no novo passaporte) pode não estar corretamente vinculado ao seu registro de entrada (no passaporte antigo). Em teoria, isso nunca se tornaria um problema, pois ligariam automaticamente os dois passaportes com base em seus dados pessoais e, mais importante, com base em suas impressões digitais - no entanto, se por algum motivo isso não acontecesse automaticamente, seria um exercício trivial apontar o que ocorreu e tê-los combinar os registros de entrada e saída relevantes juntos.
Pessoalmente, eu renovei meu passaporte australiano duas vezes enquanto estava nos EUA com um visto, e nunca tive nenhum problema ao fazê-lo, ou quando subseqüentemente sair / entrar nos EUA em futuras visitas. A única diferença que notei foi na primeira entrada usando o novo passaporte que eles pegaram impressões digitais de todos os 10 dedos, em vez dos 4 que normalmente tomam quando eu entro no país. De acordo com o funcionário da imigração que fez essa última vez que eu entrei com um novo passaporte, isso foi para que eles pudessem confirmar a ligação entre o passaporte antigo e o novo.