Não, você não precisa pegá-lo e verificar novamente. Somente se você continuar em um voo de baixo custo, você precisará coletar sua mala, fazer o check-out, pegar o balcão de check-in da transportadora de baixo custo e fazer o check-in novamente. Não é aconselhável seguir este caminho, porque se você tiver um atraso no seu voo de entrada, por causa do qual você perdeu sua conexão, você precisará comprar um novo bilhete. Desde que você está continuando a Stuttgart em klm, eu espero que você esteja voando em um bilhete. Você verá que, no checkin jakarta, os rótulos já terão impresso Stutgard.
Pode ser benéfico conhecer os seus direitos da UE .
Como você está se transferindo para Amsterdã e não está saindo do aeroporto, não precisa de visto para a Holanda. Na maioria dos casos isso é irrelevante, já que a maioria dos vistos são Schengen, que lhe dá direito de entrar em qualquer país schengen, mas acredito que ainda é possível ser persona non-grata em um país e ser autorizado a entrar no outro em que um país visto específico é emitido.