Por que o Dr. Malcolm de repente acreditou em Cole?

Não é de repente. Ele havia escutado essas fitas antes, mas ao ouvi-las novamente, ele podia ouvir o que poderiam ser os fantasmas que Vincent estava lhe dizendo que ouvia. Isso apoiaria a afirmação de que Cole pode realmente ver pessoas mortas.

De Wikipédia :

At first, Crowe thinks Cole is delusional and considers dropping his case. Remembering Vincent, the psychologist listens to an audiotape from a session with Vincent when he was a child. On the tape, when Crowe leaves the room, Vincent begins crying. Turning up the volume, Crowe hears a weeping man begging for help in Spanish, and now believes that Cole is telling the truth and that Vincent may have had the same ability.

Porque ele se sente culpado por não poder ajudar Vincent, e não querendo cometer o mesmo erro novamente Dr. Malcom decide confiar que Cole está dizendo a verdade.

Além da resposta de Luciano na fita, você ouve que, quando o Dr. Malcolm entra de novo, ele diz que é surpreendentemente frio. Cole mencionou que a presença de pessoas mortas faz a temperatura cair antes.