Os DCs de Percepção ativos e passivos podem ser diferentes?

Sim, você pode ter DCs diferentes para DCs ativos e passivos.

Não consigo encontrar nada no DMG ou no PHB que diga explicitamente que o controlador de domínio deve ser o mesmo para verificações passivas e ativas.

É um pouco implícito em vários lugares no DMG onde diz algo semelhante a isto:

DMG pg 120-121

A trap's description specifies the checks and DCs needed to detect it, disable it, or both. A character actively looking for a trap can attempt a wisom (Perception) check against the trap's DC. You can also compare teh DC to detect the trap with each character's passive Wisdom (Perception) score to determine whether anyone in the party notices the trap in passing.

A linguagem implica um único DC para qualquer verificação, mas não o declara abertamente. A lista de traps nas próximas páginas também tem um único DC para verificações ativas e passivas, mas não declara abertamente que você deve torná-las iguais.

No entanto, na seção do DMG sobre determinação de CDs, vemos o seguinte:

DMG pg 238

It's your job to establish the Difficulty Class for an ability check or saving throw when a rule or an adventure doesn't give you one. Sometimes you'll even want to change such established DCs. When you do so, think of how difficult a task is and then pick the associated DC from the Typical DCs table.

Isso lhe dá autoridade para definir ou alterar DCs. É perfeitamente razoável (e aumenta a verossimilhança) uma verificação passiva para ter uma CD maior do que uma ativa.

Além disso, a DMG pg 104 diz:

Concealed Doors

A concealed door is a normal door that is hidden from view. A secret door is carefully crafted to blend into its surrounding surface, whereas a concealed door is most often hidden by mundane means. It might be covered by a tapestry, covered with plaster, or (in the case of a concealed trapdoor) hidden under a rug. Normally, no ability check is required to find a concealed door. A character need only look in the right place or take the right steps to reveal the door. However, you can use the characters' passive Wisdom (Perception) scores to determine whether any of them notices tracks or signs of a tapestry or rug having been recently disturbed.

Esta é uma situação em que o CD ativo é 0, mas o DC passivo é > 0.

Adicionando isto ao fato de que na Mina Perdida de Phandelver, pg 20, diz:

Spotting a secret door from a distance of no more than 10 feet without actively searching for it requires a passive Wisdom (Perception) score of 15 or higher, whereas a character who takes the time to search the wall can find the secret door with a successful DC 10 Wisdom (Perception) check.

E temos uma segunda fonte que diz que podemos definir DCs ativos e passivos diferentes.

Então, sim, você pode definir DCs diferentes para verificações ativas e passivas.

Algo não declarado no DMG, mas considerado prática comum, é reduzir o CD para explicações mais explícitas de um objetivo. Por exemplo, compare isso:

Player: I check the room for anything of value

DM: Roll Investigation [DC 12 for small treasure, DC 16 for secret compartment]

Player: 13

DM: you find 4 GP worth of small coins in various drawers of the desk in the corner, and a finely crafted, ornamental dagger worth about 20 GP over the mantle of the Duke's bed.

com isso:

Player: I check the desk for anything of value, especially looking for secret compartments

DM: Roll Investigation [DC 5 for small treasure, DC 8 for secret compartment]

Player: 11

DM: you find 4 GP worth of small coins in various drawers of the desk in the corner, and little else worth carrying out to sell.

DM: However, you also find a false bottom on one of the drawers. After opening it up, you find documents proving that the duke is the head of the assassination attempt, as well as a tiny opal worth about 20 GP.

Quanto mais precisos forem seus jogadores ao explicar o que estão tentando fazer, mais provavelmente encontrarão o que estão procurando (supondo que exista), mas é menos provável que encontrem coisas fora dessa explicação que possam seja mais óbvio.

Sim: os DCs para verificações de percepção ativa e passiva podem ser diferentes

Em primeiro lugar, não há nada nas regras que o proíba de fazer isso por mais que você queira, em qualquer circunstância. No entanto, seus jogadores provavelmente querem uma boa razão para você fazer isso, pois isso viola as expectativas. Dito isto, há um exemplo RAW em que você deve tornar os DCs diferentes para verificações passivas e ativas.

Evidências disso são explicitamente dadas na página 177 do PHB.

Passive perception. When you hide, there's a chance someone will notice you even it they aren't searching. To determine whether such a creature notices you, the DM compares your Dexterity (Stealth) check with that creatures passive Wisdom (Perception) score, which equals 10+ the creature's Wisdom modifier, as well as any other bonuses or penalties. If the creature has advantage, add 5. For disadvantage, subtract 5.

(Segundo negrito adicionado para ênfase).

Por exemplo, se você estivesse procurando por um alçapão, de vista, em uma sala onde as paredes estivessem cobertas de trepadeiras, o alçapão poderia ser considerado "ligeiramente obscurecido", como definido no PHB página 183

In a lightly obscured area, such as dim light, patchy fog, or moderate foliage, creatures have disadvantage on Wisdom (Perception) checks that rely on sight.

Assim, o CD para uma pesquisa ativa poderia ser 10, mas feito com desvantagem. Enquanto isso, se os PJs não estivessem procurando ativamente por trás das trepadeiras, mas estivessem no quarto por algum outro motivo, eles poderiam notar o alçapão se a percepção passiva deles fosse alta o suficiente. Eles ainda precisam passar um teste de 10 DC para encontrar a porta, mas como eles têm desvantagem no teste, sua percepção passiva é reduzida em 5. Assim, eles precisam de uma percepção passiva de 15 ou mais para ter sucesso. Assim, para todas as intenções e propósitos, o CD é diferente para as verificações passiva e ativa: 10 (com desvantagem) para ativo e 15 (efetivamente) para passivo.