Como regra geral, no check-in da empresa aérea, você precisa mostrar à companhia aérea os documentos que comprovam que você pode transitar em qualquer país em trânsito ou que você pode inserir o país de destino .
Se você viajar em um voo direto do Bahrein para o Reino Unido, precisará mostrar à companhia aérea os documentos que comprovam sua entrada no Reino Unido. No seu caso, este é o passaporte britânico.
Note que isso é diferente do que você precisa mostrar para sair da imigração! Você deve mostrar a eles o mesmo passaporte com o qual você entrou no país (provavelmente o seu passaporte no Bahrein).
As informações do APIS são enviadas para o país de destino (UK).
E, normalmente, um pequeno erro ortográfico em seu nome é ignorado ou a companhia aérea pode alterar facilmente o nome da sua reserva. Mas você desejará ter o passaporte com o erro de ortografia emitido novamente assim que puder.