Sim, pode
A descrição do Find Familiar diz que o familiar "não pode atacar, mas pode levar outras ações normalmente". "Ataque" significa que você está fazendo uma jogada de ataque. Você não precisa atacar para usar o efeito Dragon Breath, porque não há nenhum teste de ataque envolvido, mas sim um teste de resistência:
You touch one willing creature and imbue it with the power...
the creature can use an action to exhale energy of the chosen type in a 15-foot cone. Each creature in that area must make a Dexterity saving throw
"Um ataque" no 5e é qualquer coisa com uma jogada de ataque:
If there's ever any question whether something you're doing counts as an attack, the rule is simple: if you're making an attack roll, you're making an attack
(Player's Handbook, page 194)
Veja também O que conta como um ataque?
Como o familiar não faz um, ele pode usar o efeito Dragon Breath.
O conselho do Sage confirma isso
Como a V2Blast apontou, a tweet de Jeremy Crawford apoia esta resposta:
Dragon's breath is cast on a willing creature. Your familiar is a creature that can be willing. Find familiar prevents a familiar from attacking, but dragon's breath involves no attack.