Do código postal que você deu (= Postleitzahl) você quer alcançar Koenigstein im Taunus. Isso é acessível a partir do aeroporto de Hahn, embora não seja a viagem mais fácil e rápida.
Eu poderia pesquisar na Deutsche Bahn e encontrar uma conexão possível. Você tem que pegar o ônibus 600 para a estação Frankfurt Main (Frankfurt Hauptbahnhof em alemão, às vezes encurtado em Hbf). O passeio é bastante longo, cerca de 1h45. Então você pode pegar um trem da estação principal de Frankfurt, sendo Koenigstein im Taunus a última parada desse trem (aparentemente o trem geralmente sai da plataforma 22 ou 23). O passeio dura menos de 30 minutos, mas a conexão pode ser mais longa, aparentemente há um trem por hora.
Em relação ao preço, não consegui encontrar informações.
Nota: note também que, enquanto o autocarro 600 de Hahn pára em O principal aeroporto de Frankfurt, que é melhor servido por transporte público, parando lá não é uma alternativa melhor, uma vez que leva 1h30 para o aeroporto de Hahn-Main.