3 ataques, essa é a resposta.

Poderia subir para cinco com o Action Surge, no entanto.

Vamos detalhar:

Two-Weapon Fighting (PHB, page 195)

When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you’re holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light melee weapon that you’re holding in the other hand. You don’t add your ability modifier to the damage of the bonus attack, unless that modifier is negative. If either weapon has the thrown property, you can throw the weapon, instead of making a melee attack with it.

Uma ação de bônus é diferente de uma ação.

Quando você é um lutador de 5º nível e toma a ação Attack, você pode fazer dois ataques. Você também pode usar sua ação bônus para fazer um ataque adicional e você só adiciona seu modificador de habilidade a esse dano se você tiver o estilo de Combate com Duas Armas.

Two-Weapon Fighting (PHB, page 72)

When you engage in two-weapon fighting, you can add your ability modifier to the damage of the second attack.

Action Surge permite que um ataque de 5º nível ataque 5 vezes.

Action Surge (PHB, page 72)

Starting at 2nd level, you can push yourself beyond your normal limits for a moment. On your turn, you can take one additional action on top of your regular action and a possible bonus action. Once you use this feature, you must finish a short or long rest before you can use it again. Starting at 17th level, you can use it twice before a rest, but only once on the same turn.

O que significa que você teria 2 ações e ainda teria sua ação de bônus. Então, com isso, você pode tomar sua ação de Ataque (2 ataques), depois outra Ação de Ataque (mais 2 ataques) e, finalmente, sua ação bônus de Combater a Duas Armas (mais um ataque), perfazendo um total de 5 ataques. / p>     

Ataque extra, regras básicas do jogador, página 25:

Beginning at 5th level, you can attack twice, instead of once, whenever you take the Attack action on your turn.

Note que ele diz especificamente "sempre que você executar a ação Attack". Não sempre que você ataca.

Da luta de duas armas, página 74:

When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you're holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light melee weapon that you're holding in your other hand.

Isso não permite que você realize a ação Attack duas vezes, mas sim um ataque extra em minúsculas.