A quinta edição do D & D voltou ao conceito de pequenos partidos, em oposição a ser capaz de ter um exército de lacaios, animais de estimação, familiares e criaturas mortas-vivas.
Por esta razão, não há regra para transformar animais em aliados, tanto quanto eu sei, no momento. Você pode acalmá-los com o Handling Animals e pode fazer amizade com feitiços como o Speak with Animals, mas não há como transformá-lo em um companheiro.
Existem alguns mecanismos de classe que permitem que você tenha um acompanhante. O mais próximo do que (eu acho) você perguntou é o companheiro animal do Arqueiro no caminho da Besta Mestre no 3º nível. Os assistentes também têm o feitiço Find Familiar, que seria similar.
Mesmo para montarias, tanto quanto eu sei (e eu verifiquei rapidamente o PHB e DMG) não há uma maneira oficial de doma-los, você acabou de comprá-los já domado ou recebê-lo como uma recompensa / presente / alguma coisa.
Não ter regras oficiais para isso não impede você (como Mestre) de inventá-las, ou você (como jogador) de falar com seu Mestre e verificar o que você pode fazer. Talvez você queira apenas um lobo de estimação que ande junto com você por sabor, mas é completamente irrelevante em termos de combate (ele está com muito medo de lutar, talvez?) Ou um rato de estimação (que é realmente um item inicial para alguns fundos). Talvez até mesmo um companheiro de luta não seja tão ruim se o personagem fizer um esforço suficiente e o Mestre achar que pode funcionar.
TL; DR: Não há meios oficiais. Se você é um jogador e quer ter um amigo animal, fale com seu Mestre e diga exatamente o que você disse aqui (você achou interessante e quer saber se e como você pode fazer isso)