Não existe uma regra explícita para isso - cabe ao Mestre improvisar uma quantidade de dano que pareça apropriada para a situação.
O DMG (p. 249) dá algumas orientações sobre o improviso de danos. Isso sugere que cair em uma fogueira pode causar 2d10 de dano.
No caso de alguém correndo por uma pequena área de fogo conforme o seu cenário, eu olharia para a recompensa criar fogueira do suplemento Elemental Evil:
You create a bonfire on ground that you can see within range. Until the spells ends, the bonfire fills a 5-foot cube. Any creature in the bonfire’s space when you cast the spell must succeed on a Dexterity saving throw or take 1d8 fire damage. A creature must also make the saving throw when it enters the bonfire’s space for the first time on a turn or ends its turn there.
Embora isso seja um fogo mágico e não mundano, isso sugere que um personagem destro poderia passar por um cubo de fogo de 1,5 metro sem causar dano, ou com dano razoavelmente mínimo (1d8) se for desajeitado. Pense em passar o dedo por uma chama de vela sem se queimar. Acho que provavelmente improvisaria bem perto disso para pequenas áreas de fogo mundano. Para uma área maior, eu provavelmente faria algo como 1d10 por rodada na chama.