Will be able to travel to the other Schengen states visa-free
Não. Bem, sim, mas não. Quero dizer ... na prática, muitas / muitas das vezes quando você cruza uma fronteira Schengen com carro / ônibus / pé nada acontece, às vezes nem mesmo um voo incorre em um cheque de passaporte. Mas vale tudo. Você cruza a fronteira, cinco minutos depois a polícia está sinalizando o carro exigindo papelada. Tive um voo Budapeste-Milão, que terminou com um cheque de passaporte para minha surpresa (alguns dias depois, um de Roma-Marselha não fez nem um de Basel-Budapeste algumas semanas depois). Neste Natal, dirigindo da Hungria para a Áustria, houve uma checagem de passaporte na fronteira, mas a condução da Áustria para a Hungria não dava a mínima. Então, para ficar dentro dos limites legais e evitar grandes problemas, você precisa de um visto.
or if not, do they normally accept an NZ RTD to apply for a visit (tourist) visa?
Absolutamente. O documento da convenção de 1951 é igual a um passaporte nesses casos.