É como você supôs: ele diz "Downal wyth Bluddy Behg Hid!".
Significa "Abaixo a cabeça grande e sangrenta" ou como a fonte abaixo cita: "Abaixo a Rainha Vermelha, o slogan da Resistência." ( source )
Isso obviamente significa que o chapeleiro está insinuando Bayard que eles estão do mesmo lado.
A única coisa que pode confundir as pessoas aqui é quando as pessoas assumem que Bayard acredita nas promessas da rainha vermelha de que sua família será libertada. Mas eu não acho que as pessoas continuariam a assumir o mesmo caminho depois daquela cena em que Bayard ajuda Alice.
Então, como um resumo - Bayard sabe que ele está sendo usado e ajuda Mad Hatter nessa cena deixando Alice.