Não, RAW você não pode transformá-lo em um familiar
Como outras respostas já mencionadas, e você mesmo disse isso em sua pergunta, o que Find Familiar faz é invocar um
familiar, a spirit that takes an animal form you choose
Nos comentários, você mencionou que não conseguiu convencer seu Mestre - o que é estranho, já que não tem absolutamente nenhuma implicação mecânica sobre qualquer coisa, mas a tabela dele, então vamos prosseguir - mas há outras coisas que você pode tentar.
Crawford está totalmente bem em ter animais de estimação , "contanto que seu Mestre esteja OK adicionando uma criatura ao grupo" . Apresentar este tweet ao seu Mestre pode ajudar - as regras geralmente respeitam a opinião de Crawford.
Want your D&D character to have a pet/companion?
Here’s a little secret: you don’t need special rules for this. Through roleplaying and ability checks (most likely Animal Handling or Persuasion), you can have a buddy, as long as your DM is OK adding a creature to the group. #DnD
Mais tarde é explicado que
The default assumption in the D&D rules is that you can befriend people and critters you meet on your adventures.
If a class has a special companion (Beast Master, find familiar, find steed, animate dead, etc.), that companion is in addition to creatures you might befriend. #DnD
Isso significa que, mesmo que você não possa ter o esquilo como seu familiar, ele ainda pode ser seu animal de estimação , e você ainda tem o seu familiar. Apenas role role isso. Eu entendo que não é exatamente o que você estava procurando, mas espero que ajude.