Isso é explicado no segundo filme - o pai de Peter alterou o DNA do Spider com o seu próprio, significando que somente Peter poderia ter obtido os benefícios dele. Essa era a garantia de que, após a morte do pai de Peter (que seu pai esperava que acontecesse), o poder permaneceria seguro e morreria com ele.
Aqui está a citação direta do script:
Richard Parker: It doesn't matter because there is something else that Norman doesn't know. The Human DNA that I implanted in the spiders was my own, which means that without me, without my bloodline, OsCorp can never replicate or continue my experiments.