Não

Com algumas estipulações.

Primeiro, o PHB na página 198 dá uma boa visão do combate montado. Há duas seções para as quais gostaria de chamar atenção:

While you're mounted, you have two options. You can either control the mount or allow it to act independently. Intelligent creatures, such as dragons, act independently.

Para montagens domésticas, que abrange a maioria dos casos de uso:

[A controlled mount] has only three action options: Dash, Disengage, and Dodge.

A mesma seção fornece regras para montagens independentes. Isso aborda o exemplo do Dragão:

An independent mount retains its place in the initiative order. Bearing a rider puts no restrictions on the actions the mount can take, and it moves and acts as it wishes. It might flee from combat, rush to attack and devour a badly injured foe, or otherwise act against your wishes.

(ênfase minha)

Assim, sim, um dragão sendo usado como montaria pode usar seu ataque de respiração .
No entanto, o PHB implica que o dragão, sendo explicitamente listado como inteligente, não estaria não sob controle do jogador por sua vez - ele seria controlado pelo Mestre.
Embora o dragão possa estar aberto a aceitar sugestões (como dragões raramente recebem ordens), e pode muito bem concordar que um ataque de respiração seria uma boa idéia, o jogador não tem a palavra final no que o dragão disse. faz ou não faz por sua vez.