A grande questão é se o seu termostato / forno é de tensão de linha ou baixa tensão (24V normalmente). Se for tensão de linha, então não, isso pode ser completamente perigoso e um risco de incêndio (a Ethernet não é classificada para este tipo de tensão).
Se for de baixa voltagem, não há razão para que isso não funcione eletricamente, pelo menos a curto prazo. No entanto, eu me preocuparia se o cat6 pudesse aguentar as temperaturas mais altas perto do seu forno, e se o próprio cabo poderia ser um risco de incêndio.
A Ethernet pode ser bastante frágil em comparação com o fio de sino (por exemplo); é de maior calibre e o isolamento não é tão robusto.
As propriedades de alta velocidade da ethernet (par trançado, relações de par, arranjo de fios, etc.) não tem importância aqui, portanto não há razão real para usar mais do que um único condutor. Se qualquer coisa isso pode apenas confundir a próxima pessoa trabalhando nisso.
Se fosse minha casa, eu não usaria isso. O fio do termostato é barato, seguro e comprovado. A economia usando o cabo restante é facilmente excedida se essa configuração falhar (precisa ser substituída) ou, pior ainda, causar danos ao seu forno, termostato ou casa.