Existem duas partes:
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Seu passaporte ainda é válido? - Não expirou, mas foi suspenso. Esta suspensão é solicitada do HHS ao Departamento de Estado dos EUA. Um passaporte suspenso não é mais um documento de viagem válido.
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Diz por que está suspenso? - Nenhuma maneira real de saber isso. Definitivamente as companhias aéreas não sabem disso. Se o seu passaporte for escaneado (eletronicamente), ele será sinalizado. O cheque não é feito contra o banco de dados do HHS, é feito contra a agência emissora - que é o Departamento de Estado.
Agora, para suas perguntas específicas:
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Sempre que seu passaporte for digitalizado digitalmente, estará sujeito a ser sinalizado.
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A jurisdição onde a sua denúncia não pode prendê-lo por questões de apoio à criança; a menos que tenha havido um mandado de prisão internacional emitido para você. Eles só podem detê-lo porque você é inadmissível; como seus documentos não são válidos. Sua identidade será registrada, você provavelmente terá impressões digitais e poderá sofrer mais sanções por esse país.
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Você será mandado de volta para a França? Não. Você então seria repatriado para os EUA, já que não há garantia de que em nenhum outro lugar você aceitaria documentos de viagem inválidos. Tanto quanto sei, as despesas são pagas pela companhia aérea e não pelo indivíduo repatriado.
Finalmente, eu usaria extrema cautela - e tentaria normalizar meu status, em vez de correr o risco de ser sinalizado por cada país, porque você está morando lá com documentos de viagem inválidos.