O que é este instrumento INOP e quando é seguro voar com instrumentos INOP?

É uma tela de espera, especificamente um DDRMI (Indicador Magnético de Rádio de Distância Digital).

A aeronave pode ser despachada com equipamento inoperante. O processo é controlado por uma lista mínima de equipamentos (MEL). O operador terá uma MEL para cada tipo de aeronave em sua frota. A MEL é aprovada pela autoridade reguladora (FAA, CAA, etc.) e especifica o que pode ser inop e restrições associadas.

Eu não sei o que é o BA MEL para o A319, mas aqui está um recorte do Master MEL (MMEL) da FAA, que é a orientação para cada operador usar ao criar sua MEL.

Seguindo esta orientação, a MEL diria que você pode despachar com o INOP DDRMI se os mínimos do equipamento FAR forem atendidos. Isso (pelo menos nos EUA) está na linha do "equipamento de navegação necessário para o voo planejado".

I am presuming the instrument has a backup, and the backup was operative

O instrumento "INOP" em si é um backup. É um instrumento de navegação que combina uma bússola, agulhas VOR e agulhas ADF. Este instrumento de backup é uma versão analógica que funciona na tecnologia dos anos 70. É raramente (ou nunca) necessário, apenas com a intenção de ser usado quando todos os computadores do cockpit falham, o que é excepcionalmente raro. A versão moderna usa computadores e os resultados são exibidos nas telas que você vê.

What are the rules re flying with INOP instruments?

Como outros afirmaram, a "Lista de Equipamento Mínimo" é um documento que lista quais equipamentos são essenciais para o envio de uma aeronave.

Além da segurança, a taxa de despacho é outra razão pela qual há redundância em um cockpit de avião. Com sistemas tão complexos como esse (o manual de um avião moderno tem milhares de páginas), as falhas não são incomuns. É mais econômico projetar uma aeronave que ainda pode voar com alguns instrumentos / sistemas inoperantes, ao invés de uma que requer que tudo esteja 100% funcionando.

O instrumento é um medidor VOR de backup. Está lá no caso de ser necessária a radiotransmissão manual (dificilmente em um avião moderno) E os monitores não estão funcionando.

Como não é um instrumento vital para colocar a aeronave no chão com segurança, não há problema se ela for declarada INOP (provavelmente há um período máximo para que seja marcada como tal antes que os reparos sejam necessários).

Toda aeronave tem uma MMEL (Lista Mínima de Equipamentos) e uma MEL (Lista de Equipamentos Mínimos). Enquanto os MMELs são publicados pelo produtor da aeronave, as MELs são geradas pelas empresas que voam nesses aviões. Cada empresa pode ter uma MEL diferente para a mesma aeronave. Este MELs não pode ser menor que o MMEL. Se esse equipamento com defeito ou inoperante estiver na MEL, a aeronave não poderá voar sem permissões especiais.

Esta é a informação básica. Para mais informações, você pode ler as Wikipedia ou as publicações FAA, JAR ou EU OPS.