Acho que você deve verificar o site da Associação de Albergues da Juventude para obter acomodações "baratas" no Reino Unido. O Aeroporto de Heathrow está localizado a uma distância considerável da Londres que você deseja visitar, por isso ficar em qualquer lugar perto dele é inútil.
Um exemplo de um Albergue da Juventude do site acima, próximo a muitas comodidades, e os ônibus de turismo que você pode pegar estão perto da Oxford Street, no coração de Londres, uma descrição pode ser vista aqui .
Em termos de segurança, Londres não é mais segura e não é mais perigosa do que qualquer outra grande cidade na Europa ou no mundo ocidental. Mas tudo pode acontecer. Londres é um ótimo lugar, mas não é barato.