Você não precisa (e não pode obter) um visto de curta duração para o espaço Schengen (incluindo a França), pois os EUA estão na lista do anexo II da Regulamento 539/2001 . Você pode, portanto, se apresentar na fronteira (ou seja, pegar um avião para a Europa) sem qualquer formalidade prévia.
Teoricamente, você pode ser solicitado a mostrar a você o cumprimento de várias condições, como ter recursos financeiros suficientes (por exemplo, ter um cartão de crédito) ou um propósito válido para sua estada, mas, na prática, e a menos que você só serão feitas algumas perguntas e carimbadas.
E sim, você pode entrar e sair da França tanto quanto desejar pelos próximos seis meses (ou mesmo depois disso), desde que nunca ultrapasse 90 dias em qualquer período de 180 dias . Como você não tem visto, não é necessário renovar nada. Você receberá apenas carimbos de entrada e saída que documentam suas estadias no espaço Schengen e são usados para impor o limite de 90 dias que acabei de mencionar.
Não é relevante para você como cidadão americano, mas para pessoas que precisam de um visto Schengen, o que é permitido depende inteiramente do visto. Um visto Schengen pode ser válido por até 5 anos, mas também pode ser (muito) mais restritivo, não há absolutamente nenhuma garantia de que ele será válido por seis meses ou permite uma estadia de 90 dias e nenhuma ligação direta com a 90/180 regra dos dias (que, para os titulares de visto, é apenas um limite superior sobre o que pode ser concedido).
Os candidatos iniciantes geralmente recebem um visto que cobre sua primeira viagem prevista, nada mais, e podem ser forçados a solicitar um novo visto para cada viagem subseqüente (o que significa fornecer todos os documentos ao consulado, pagar a taxa e esperando a decisão novamente). É só depois de várias viagens e se eles têm uma boa razão para visitar o espaço Schengen regularmente que os nacionais de visto recebem um visto de múltiplas entradas válido por um ano ou mais (caso em que o limite de 90 dias se aplica).