Esta equação para empuxo da hélice está correta?

De considerações dimensionais, e assumindo que a potência $ P $ aplicada a uma hélice de diâmetro $ D $ movendo-se a uma velocidade axial $ V $ é 100% convertida para a aceleração de uma massa de ar com densidade $ rho $, Cheguei à seguinte expressão para o impulso $ F $:

$ F = k (P · rho · V) ^ {1/2} · D $

em que $ k $ é uma constante não dimensional.

Essa expressão é basicamente correta? Agora estou editando para incluir abaixo da derivação, um pouco longo ...

Temos uma hélice com um diâmetro de $ D $, absorvendo uma potência $ P $ quando movemos a uma velocidade axial de $ V $ no ar de densidade $ \ rho $. Vamos supor que exista uma função f tal que o empuxo $ F $ da hélice seja:

$ F = f (P, D, V, \ rho) $

As variáveis são empurradas $ F $, dimensões $ MLT ^ {- 2} $; Potência $ P $, dimensões $ ML ^ 2T ^ {- 3} $; diâmetro do propulsor $ D $, dimensões $ L $ e densidade do ar $ \ rho $, dimensões $ ML ^ {- 3} $

Cinco variáveis são demais. O sistema não pode ser resolvido, a menos que tenhamos quatro, um dependente e independente de árvore ... Assim, no lugar de $ V $ e $ D $, tomamos o volume $ W $ varrido pela hélice giratória na unidade de tempo, dimensões $ L ^ {3} T ^ {- 1} $

$ W = π / 4 · D ^ {2} · V $

Existe uma constante não-dimensional $ k $ tal que:

$ k = F ^ a \ cdot P ^ b \ cdot \ rho ^ c \ cdot W ^ d $ em que $ a, b, c, d $ são números a serem determinados.

Mudando para as dimensões:

$ M ^ 0 L ^ 0 T ^ 0 = (MLT ^ {- 2}) ^ a (ML ^ 2T ^ {- 3}) ^ b (ML ^ {- 3}) ^ c (L ^ 3 T ^ {- 1}) ^ d $

Então, o sistema é:

$ 0 = a + b + c \ 0 = a + 2b –3c + 3d \\ 0 = –2a –3b –d $

$ F $ é a variável dependente, então fazemos um = 1

Resolvendo o sistema:

$ b = –1/2 \\ d = –1/2 \\ c = –1/2 $

Inserindo em $ k = F ^ a \ cdot P ^ b \ cdot \ rho ^ c \ cdot W ^ d $ em que $ a, b, c, d $ os valores dos expoentes e resolvendo por $ F $,

$ F = k \ cdot P ^ {1/2} \ cdot \ rho ^ {1/2} \ cdot W ^ {1/2} $

Mas $ W = π / 4 · D ^ {2} · V $

Agora $ k $ pode absorver a constante π / 4, e nós temos:

$ F = k \ cdot P ^ {1/2} \ cdot \ rho ^ {1/2} \ cdot V ^ {1/2} \ cdot D $