A primeira coisa a fazer é verificar os dois fios na unidade externa quando o termostato está solicitando o resfriamento. Na sua foto, parece que os fios do termostato Azul e Amarelo estão sendo usados. Você deve ter 24v AC nesses dois fios, o que normalmente fecharia o relé de 240v e ligaria o compressor e a ventoinha de resfriamento.
Se você não está recebendo 24v nos dois fios do termostato, provavelmente há uma conexão ruim em algum lugar. Como o manipulador de ar está funcionando e o termostato tem energia, o transformador de 24V está funcionando.
Se você está recebendo 24v, então você pode passar para diagnosticar apenas o compressor. Existem chaves limitadoras que podem impedir que o compressor ligue se o nível de refrigerante estiver desligado. Também pode haver sensores de temperatura que impeçam a execução do compressor, portanto, eles precisariam ser verificados. O relé também deve ser fechado quando o sinal de 24v estiver presente. Uma conexão ruim pode ler 24v, mas pode não ter a amperagem para realmente fechar o relé. O revezamento pode ser corroído ou preenchido com corpos de formigas mortos.
Espero que isso ajude. Esclareça tudo o que puder nos comentários e eu posso tentar editar conforme necessário. Eu fiz muito para diagnosticar e resolver problemas com um termostato WiFi e bomba de calor que não estavam ligados corretamente.