Isso é respondido na página 7 do PHB:
3. Compare the total to a target number. If the total equals or exceeds the target number, the ability check, attack roll, or saving throw is a success. Otherwise, it’s a failure. [...] The target number for an ability check or a saving throw is called a Difficulty Class (DC).
E na página 174:
If the total equals or exceeds the DC, the ability check is a success — the creature overcomes the challenge at hand. Otherwise, it’s a failure...
Quanto a checks opostos (chamados concursos , também encontrados na página 174 do PHB), ao invés de rolar contra um DC pré-set você está essencialmente rolando contra um DC estabelecido pela habilidade de outra criatura Verifica. Em este caso você deve rolar mais alto do que a outra criatura rolou para ter sucesso e um empate significa que nenhuma criatura ganha ou perde e a situação permanece a mesma.