A chance de rolar um 1 em um grupo de d10s aumenta à medida que o número de dados aumenta?

Sim.

Seu instinto está certo. Quanto mais dados, maior a probabilidade de você rolar alguns 1s.

Se eu estou lendo você corretamente, você está apenas interessado em saber se qualquer 1s aparece no seu pool. Pode não parecer óbvio, mas a maneira mais fácil de pensar nisso é modelar a probabilidade de rolar todos os 2s-through-10s. Isso é

$$ P (\ text {não} 1) = \ frac 9 {10} = 0.9 $$

Então, para dados n , temos a probabilidade de n "não 1" s é igual à probabilidade de cada evento independente multiplicado:

\ begin {align *} P (n texto {não} 1) & = \ underbrace {P (\ text {não} 1) \ times P (\ text {não} 1) \ times \ dots \ times P (\ text {não} 1 )} _ {n \ text {times}} \\  & = \ left [P (\ text {não} 1) \ right] ^ n \\  & = 0.9 ^ n \ end {align *}

A probabilidade, então, de alguns dado / dado ser 1 é o complemento de todo n d10 não sendo um 1:

$$ P (\ text {alguns} 1 \ text {em} n \ text {d} 10) = 1-P (n \ text {não} 1) = 1-0.9 ^ n $$

Aqui está o visual:

E a tabulação:

\ begin {array} {cc | cc} n & P (\ text {some} 1 \ text {em} n \ text {d} 10) & n & P (\ text {alguns} 1 \ text {em} n \ text {d} 10) \\ \ hline 0 & 00,00 \% & 10 & 65,13 \% \\ 1 & 10,00 \% & 11 & 68,62 \% \\ 2 & 19,00 \% & 12 & 71,76 \% \\ 3 & 27,10 \% & 13 & 74,58 \% \\ 4 & 34,39 \% & 14 & 77,12 \% \\ 5 e 40,95 \% & 15 & 79,41 \% \\ 6 & 46,86 \% & 16 & 81,47 \% \\ 7 e 52,17 \% e 17 & 83,32 \% \ 8 e 56,95 \% e 18 e 84,99 \% \ 9 & 61,26 \% & 19 & 86,49 \% \\ & 20 & 87,84 \% \\ \ end {array}

Pense dessa maneira: se você rolar um dado, há 10% de chance de ser um 1. Se você lançar dois dados, é o mesmo que rolou um deles (já que ambos os testes são independentes de cada um) outro), depois o outro. Digamos que você faça o experimento 100 vezes (e equacione ocorrências com porcentagens).

Com um único dado, 10 vezes você perde, 90 vezes você ganha.

Com dois dados, 10 vezes você perde com o primeiro dado, 90 vezes você ganha com ele. Agora, não nos importamos com o segundo lançamento dos 10 tempos perdidos, você está perdendo independentemente. Das 90 vezes que você venceu a primeira, você ainda tem que rolar um segundo dado, 10% dos quais (9) serão, e 90% (81) não-ones. Total de 19 vezes você perde, 81 você ganha (vs 10/90 para 1 dado).

Sim, as chances de rolar pelo menos um de qualquer coisa aumentam à medida que o número de dados aumenta.

Eu não sei a função real para determinar como essas probabilidades aumentam, mas como um exemplo, aqui está um gráfico de Anydice mostrando 65.13% de chance de obter pelo menos um 1 em 10d10: link e apenas 27.10% de chance de obter pelo menos um 1 no 3d10: link

Colocando a resposta / exemplo de um leigo.

Para simplificar ainda mais, vou usar o exemplo de um coin flip para enfatizar os resultados.

Dado uma única moeda, você tem 50% de troca de "cara".

Dado uma segunda moeda (ou lançando a mesma moeda uma segunda vez), você agora tem uma chance separada e independente de 50% para cada lançamento de moeda.

Com dois coin flips, agora você tem quatro resultados possíveis, como mostrado neste gráfico:

Cada resultado tem uma mudança de 25%, mas 3 dos resultados incluem pelo menos um único resultado "heads". Para obter a probabilidade de pelo menos 1 "cabeças", você soma a probabilidade de cada resultado que inclua "cabeças". Nesse caso, sua chance de rolar pelo menos 1 "cabeças" é de 75%.

Se você adicionar uma terceira moeda (ou virar a mesma moeda uma terceira vez), agora você tem oito resultados possíveis, conforme mostrado neste gráfico:

Cada resultado individual tem apenas 12,5% de chance de ocorrer, mas 7 dos 8 resultados incluem pelo menos um único resultado "heads". Somando-os juntos, você tem 87,5% de chance de ganhar uma única cabeça.

Cada coin-flip adicional resulta em uma chance cada vez maior de obter pelo menos uma única cabeça.

Voltando a usar um dado de 10 lados, os resultados seguem a mesma tendência, embora com 10% de chance de um único lançamento dar seu resultado desejado, o aumento é muito menos pronunciado, embora ainda significativo.

Um único dado lhe dá 10% de chance.

Dois dados (ou um único dado rolado duas vezes) dão-lhe 100 possibilidades, das quais 19 têm pelo menos um único 1 (19% de chance).

Três dados (ou 3 rolos) dão-lhe 1000 possibilidades, das quais 271 têm pelo menos 1 (27,1% de chance).

A fonte de imagens é math-prof.com

Existe outra maneira de ver isso, que funciona particularmente bem com um dado de dez lados.

Pense nos números de um dígito de 0 a 9. Quantos deles tem um 1? Um, de dez ou 10%.

Agora, de todas as combinações de dois dígitos, de 00 a 99, quantos têm 1s? Bem, há 01, além de todos os dez números de 10-19, e depois 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 e 91. São 19, em cem ou 19%.

Faça isso novamente para números de 3 dígitos. Você terá seus 19 de antes, mais 100 a 199 (100 números), mais outros 19 de cada um dos outros oito conjuntos de cem. Isso é 100+ (19x9), ou 100 + 171, então 271 de 1000, ou 27,1%.

A próxima é (271x9) +1000 e assim por diante; o padrão é bem claro.

Sempre que você tem um experimento de probabilidade onde há exatamente dois resultados e você pode atribuir um provavelmente ao resultado, ele é chamado de experimento binomial: verdadeiro, falso, sim, não, preto, branco etc. caso você ganha um ou não sabe.

O número de dados constituiria o número de tentativas, já que não importaria se você rolasse um único dado três vezes ou jogasse todos os três dados ao mesmo tempo.

Nesse caso, a probabilidade de sucesso é 0,1. O número de dados que você usa seria o número de tentativas. Sucesso seria quando pelo menos um dado surgisse com um, ou P (x > = 1).

A matemática para isso pode ser assustadora, então pegue o caminho mais fácil. link

Se você tiver 9 dados, seriam nove tentativas. A probabilidade de sucesso de um único teste é 0,1 e você deseja obter pelo menos um sucesso.

Você verá que o P está um pouco acima de 61%

Aqui está uma boa maneira de entender intuitivamente suas chances com isso ...

Com um d10, há 90% de chance de falha, isto é, NÃO rolando um 1.

Com dois dados, há 90% de chance de 90% de chance de falha. Ou seja, 9 x 0,9 = 0,81 = 81% você não jogará 1.

Com três dados, há 90% de chance de 90% de chance de 90% de chance de falha. Ou seja, 9 x 0,9 x 0,9 = 0,729 = 72,9% você não jogará 1.

Etc ...

Por exemplo, com 20 d10s, há um x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x x9 x9 x .9 x .9 x .9 x .9 x .9 x .9 x .9 = 0.121577

Que ainda tem 12.1577% de chance de não jogar um com 20 dados!