Como Sidious sabia sobre a discussão entre Anakin e Padme em Mustafar?

Através da Força, presumivelmente. O Canon está cheio de exemplos da Força, permitindo que as pessoas vejam o que os outros são, foram, ou estarão passando.

Por exemplo, Luke, um relativamente novato com muito menos experiência e treinamento, viu a tortura de Han e Leia na Cidade das Nuvens. Yoda foi capaz de verificar que "é o futuro que você vê", então ele não só viu os eventos, mas sabia se eles eram passado, presente ou futuro.

Além disso, da Wookipedia, há um termo para esse poder da força: Forçar a visão . Do artigo da Wookipedia (que não é canon em si mesmo, mas cita canon) ...

The Sith were also very vision-prone, but unlike the Jedi, they believed—either through experience or just because they wanted to believe it—that visions would always come to pass and that they must work to make it so. Some Sith would even input their own ideas of what might come to be into their visions. Darth Sidious was perhaps the most vision-prone Dark Lord of the Sith in history, and used it to ensure his own election as Supreme Chancellor, and his ascension as Galactic Emperor.

As notícias da morte de Padme certamente se espalharam por toda parte, dada a sua participação no Senado, o fato de que ela era uma ex-monarca, etc.

Vader foi mantido acordado enquanto colocado em seu sistema de suporte à vida. Nós o vimos uivando de dor, e certamente ele experimentou uma ampla gama de emoções negativas que Sidious podia ler. Minha intuição seria de que entre estes, seria ansiedade sobre Padme e culpa sobre o que ele tinha feito para ela.

Sidious nem precisava precisar para saber sobre o incidente que sufocou a força. Ele sabia que Padme estava morto e que Vader se sentiu culpado ao pensar nela (o que é sugerido até mesmo por sua linha, que você citou), e Sidious foi capaz de usar esses fatos para tecer uma história de Vader matando-a em sua raiva. Não teria importado para ele se isso era verdade, é claro, e como ele era o último "amigo" de Vader, não esperava duvidar.

Isso não é canônico, mas eu não ficaria surpreso se

1. ... a resposta é simples "ele não sabia - era apenas uma maneira de acertar emocionalmente Anakin". Anakin não podia provar o contrário, não importa o que acontecesse na realidade.

2. ... Ou, ele tinha sigint de Mustafar. Afinal, foi um lugar onde ele construiu uma fortaleza para figurões separatistas. Ele o teria cheio de sensores.

No entanto, concordo com a excelente resposta de @ David de que o cenário mais provável - mesmo que não seja declarado abertamente - é "use a Força, Palpatine"