Motor atômico em A Clarabóia do Espaço
In 1928, EE Smith publicou a novela A Clarabóia do Espaço no periódico Amazing Stories. Possui uma embarcação com um "motor atômico" capaz de viajar mais rápido que a luz. Esta parece ser a primeira proposta de trabalho em ficção científica sobre como poder uma tecnologia que produz viagens mais rápidas que a luz. Há, no entanto, uma ressalva em relação à base da tecnologia que mencionarei abaixo (razão pela qual incluo uma melhor candidato - Ilhas do espaço - mais embaixo).

Aqui está uma passagem de A Clarabóia do Espaço em que vemos o motor atômico em ação:
For forty-eight hours the uncontrolled atomic motor dragged the masterless vessel with its four unconscious passengers through the illimitable reaches of empty space, with an awful and constantly increasing velocity. When only a few traces of copper remained in the power-plant, the acceleration began to decrease and the powerful springs began to restore the floor and the seats to their normal positions. The last particle of copper having been transformed into energy, the speed of the vessel became constant. Apparently motionless to those inside it, it was in reality traversing space with a velocity thousands of times greater than that of light.
A tecnologia atual para atingir essa velocidade superluminal nunca é explicada. Tudo o que é explicado é de onde vem o poder para isso. Este é o "atômico" no "motor atômico":
"Well, it's the force that exists between the ultimate component parts of matter, if you can understand that. A child ought to. Call in your chief chemist and ask him what would happen if somebody would liberate the intra-atomic energy of one hundred pounds of copper."
A principal razão pela qual a operação do motor não é aprofundada é porque a novela alivia-se deste fardo simplesmente afirmando que as teorias de Einstein estão incorretas. Em outras palavras, não há obstáculo para viajar mais rápido que a luz, e tudo o que precisamos é de energia suficiente para acelerar a velocidade que se deseja.
"But nothing can possibly go that fast, Mart, it's impossible. How about Einstein's theory?"
"That is a theory, this measurement of distance is a fact, as you know from our tests."
(fonte)
Observação: Muito obrigado a @Hypnosifl, @MAGolding, @user14111 e @RobertF por suas contribuições!
Unidade de tensão espacial Ilhas do espaço
Acredito que a primeira proposta de mecanismo tecnológico para viagens mais rápidas que a luz - uma que descreva seu projeto e operação reais, não apenas sua fonte de energia e que aceite que a velocidade da luz seja algo a ser superado - apareceu em John W. Campbell Jr. Ilhas do espaço, uma novela publicada pela primeira vez apenas três anos depois (1931), também em Amazing Stories. A embarcação na novela apresenta um "drive de esforço espacial", cuja descrição antecipa algumas facetas da Jornada nas Estrelasfamosa unidade de dobra.
Notavelmente, esse impulso proposto também leva em consideração os efeitos gravitacionais, de acordo com a teoria geral da relatividade de Einstein.

A sinopse da novela:
As Earth's faster-than-light spaceship hung in the void between galaxies, Arcot, Wade, Morey and Fuller could see below them, like a vast shining horizon, the mass of stars that formed their own island universe.
Mais tarde na novela:
"We might need an aerodynamically stable hull," Wade interjected. "It came in mighty handy on Venus. They're darned useful in emergencies. What do you think, Arcot?"
"I favor the torpedo shape. Okay, now we've got a hull. How about some engines to run it? Let's get those, too. I'll name the general things first; facts and figures can come later.
"First: We must have a powerful mass-energy converter. We could use the cavity radiator and use cosmic rays to warm it, and drive the individual power units that way, or we can have a main electrical power unit and warm them all electrically. Now, which one would be the better?"
Morey frowned. "I think we'd be safer if we didn't depend on any one plant, but had each as separate as possible. I'm for the individual cavity radiators."
"Question," interjected Fuller. "How do these cavity radiators work?"
"They're built like a thermos bottle," Arcot explained. "The inner shell will be of rough relux, which will absorb the heat efficiently, while the outer one will be of polished relux to keep the radiation inside. Between the two we'll run a flow of helium at two tons per square inch pressure to carry the heat to the molecular motion apparatus. The neck of the bottle will contain the atomic generator."
Fuller still looked puzzled. "See here; with this new space strain drive, why do we have to have the molecular drive at all?"
"To move around near a heavy mass—in the presence of a strong gravitational field," Arcot said. "A gravitational field tends to warp space in such a way that the velocity of light is lower in its presence. Our drive tries to warp or strain space in the opposite manner. The two would simply cancel each other out and we'd waste a lot of power going nowhere. As a matter of fact, the gravitational field of the sun is so intense that we'll have to go out beyond the orbit of Pluto before we can use the space strain drive effectively."
"I catch," said Fuller. "Now to get back to the generators. I think the power units would be simpler if they were controlled from one electrical power source, and just as reliable. Anyway, the molecular motion power is controlled, of necessity, from a single generator, so if one is apt to go bad, the other is, too."
(fonte - extraído da edição de brochura 1966 Ace, baseada em uma versão anterior do 1956)
Embora o trecho acima seja do fortemente revisado Na versão 1956 da novela, a idéia de sobrecarregar o espaço para obter viagens mais rápidas que a luz está intacta na impressão original 1931, como pode ser visto nesta passagem:
"Einstein found that the geometry of Euclid was all right here on Earth, where the curvature of space is almost zero, but when he came to consider Mercury, Euclid's geometry was all wrong. Space is curved, and there, near the terrific mass of the sun, it was so badly curved, that Euclid's planes didn't exist, and his geometry was wrong.
"Morey has a new system, and he applied it with amazing results. We have discovered a means for giving any one of the twenty coefficients of space any value we want.
"To do this, we are straining space out of its normal condition, and the usual condition of such strain creeps up. We have to use energy to do it, and in thus straining space, we are storing energy in it. Of course, we have stored energy as space strain for hundreds of years, the induction coil, the condenser and gravity all represent energy stored in space as a strain. The more we follow this mathematical discussion, the more it seems that all energy in the universe is but strain in space: that is, there is no matter, merely energy strain, in space; that there is energy only because space is strained there.
"But, be that as it may, we have a new means of storing energy, and that is more to our point, the means so affects space, that it changes the speed of light, changes the limiting speed of the universe. We can go as fast as we want, for the limit, about us, is changed, by our curving space in a new way.
"The system is fairly obvious. Remember a torus-shaped induction coil encloses all its magnetic field within it, the torus, or 'doughnut' coil, has a perfectly enclosed magnetic field. We built such an enclosed storage coil, and expected to store a few watts of energy in it to see how long it would hold it. We made the mistake of connecting it to the power lines, and it cost us a hundred and fifty dollars at a quarter of a cent per kilo-watt. After that we used the big relux plate electric generating method.
"But that is in the essentials what we have to offer. We give you the job of figuring out the stresses and strains and so forth--we want a ship to visit our neighbors--anywhere within one thousand million light-years."
(Muito obrigado a @user14111 por digitar isso em uma cópia do periódico 1931 original! A versão 1931 agora está disponível em archive.org aqui.)
Dadas as informações acima, Creio que Ilhas do espaço atende melhor aos requisitos da pergunta do OP.
Em relação à pergunta "Bônus"
Como adendo, se alguém estiver interessado em viajar mais rápido que a luz na ficção científica que não é necessariamente de natureza tecnológica, temos o seguinte.
O astrônomo Johannes Kepler escreveu um romance de ficção científica em 1608 chamado Somnium.

Nele, existem demônios que podem mover um ser humano de um ponto da Terra para outro possivelmente instantaneamente, e esses demônios podem ser chamados a percorrer grandes distâncias sempre que necessário.
O personagem principal usa esses demônios para viajar para a lua, por exemplo. (Por alguma estranha razão, viajar de demônio até a lua leva até 4 horas, enquanto viajar de qualquer ponto da Terra para outro acontece num piscar de olhos. Em qualquer caso, pelo menos alguns casos de viagens induzidas por demônios no romance podem ocorrer em velocidades superluminais.)
De Wikipedia sumário de Somnium:
One day, Fiolxhilde reveals to Duracotus how she learned of the heavens. She tells him about the daemons she can summon. These daemons can move her anywhere on Earth in an instant. If the place is too far away for them to take her, they describe it in great detail.
Este précis parece ter sido adaptado a partir desta passagem do texto original em latim:
cujus ope non raro momento temporia in alias oras, quas ipsi dixero, transportor, aut si ab aliquibus longinquitate absterreor, quaerendo de iis tantum proficio, quantum si praesens ibi essem,
qual traduz como:
Often, in a split second, I was transported by its power to other shores which I selected for myself. If I were kept away from certain places on account of their distance, I gained ground by questioning about those places just as if we were present there.
A "fração de segundo" é vaga, mas Kepler estava claramente imaginando viagens desumanamente rápidas.
Aliás, Sagan e Asimov consideram que este é o primeiro trabalho de ficção científica em geral. Desde a Somnium é o primeiro trabalho verdadeiro de ficção científica, os demônios de Kepler também são o primeiro mecanismo de viagem mais rápido que a luz na ficção científica - se assumirmos que o uso de "fração de segundo" é semelhante a "instantâneo".
Observação: Agradeço a @Hypnosifl por me referir ao texto e tradução originais e a @algiogia por alguns cálculos de suporte em relação à velocidade terrestre dos demônios.