É difícil dizer sem realmente estar na frente dele e observando o barulho, mas eu vou supor que você tenha alguns rolamentos em algum lugar. É mais fácil apontar para elas em uma imagem para sugerir onde elas podem ser descritivas:
À esquerda, você tem rodinhas para manter o secador no curso. Aplicar um pouco de Teflon (ou silicone) pode curá-lo. À direita, o motor - e o som que você está ouvindo pode significar que está morrendo. Isso não é algo que você possa realmente atender além de substituí-lo.
Também pode ser simplesmente o cinto preso ao motor. O mesmo 'cinto de segurança' que você pode comprar em uma loja de autopeças para curar um barulho de ventilador em seu carro provavelmente mostrará (ou eliminará) o cinto como o culpado. É provavelmente muito antigo se não tiver sido substituído desde que foi comprado. O interior de um secador pode ficar bastante úmido, então esses cintos podem durar muito tempo.
Portanto, verifique o lubrificante ou 'vista' qualquer coisa que ajude o secador a girar, exceto o motor, primeiro. Se isso falhar, procure um motor de substituição (ou um novo secador, possivelmente). Descarte qualquer coisa que tenha rolamentos de aço primeiro e a correia.