A resposta de Bharat B cobre bem o essencial (embora, para a figura da aceleração 5.5g, eu acho que seria melhor não citar a página da wiki, mas a fonte da qual ela obteve essa informação, que é revelada na parte inferior como a Pacote de Referência Serenity Blueprints) Mas eu queria adicionar números mais exatos para o tempo e a velocidade final de Serenity para cruzar o 'verso (supondo que o verso' seja sobre 400 AU ou 55 com luz de largura, conforme indicado O verso em números) e também descobrir o que isso implica na quantidade de combustível necessária para uma viagem completa ao longo do versículo. Eu também queria incluir os cálculos detalhados, embora a maioria das pessoas provavelmente não se interesse por eles, por isso os colocarei em negrito para que você saiba o que pular se quiser ver apenas os resultados.
Atualmente, acho que se o Serenity acelera continuamente no verso do 5.5g (presumivelmente usando a gravidade artificial para não matar a tripulação), e o verso é o 55 com horas de luz, então deve levar o 141.5 ou cerca de dias 5.9, medidos por pessoas em repouso em relação ao centro do versículo. Cálculos:
Muitas fórmulas úteis para um foguete acelerando a uma taxa fixa para uma fração significativa da velocidade da luz podem ser encontradas na página do foguete relativístico aqui. Se usarmos unidades de horas para o tempo e horas-luz para a distância, o 5.5g funcionará para o 0.00647 horas-hora / hora², portanto, se você inserir isso como "a" na fórmula t = sqrt ((d / c) ² + (2 * d / a)) (onde t é o tempo em horas, d é a distância das horas-luz 55 e c é a velocidade da luz da 1-hora / hora), o tempo seria sqrt (( 55 / 1) ² + (2 * 55 / 0.00647)) = 141.515 horas.
Por outro lado, se você deseja acelerar enquanto viaja as primeiras horas-luz 27.5 e desacelerar durante a segunda metade para chegar a baixa velocidade, conectar o 27.5 à mesma equação mostra que a primeira metade leva um tempo de horas 96.2 e o segundo leva a mesma quantidade, por um total de horas 192.4 ou dias 8.
Quanto à velocidade, no primeiro caso em que a Serenity apenas acelera continuamente no 5.5g (o que minimiza o combustível), sua velocidade final após ter viajado por essas horas do 141.5 será em torno do 0.675c. No segundo caso, onde ele acelera por horas 96.2 até o ponto médio da jornada e depois desacelera, sua velocidade no ponto médio será 0.528c. Cálculos:
Outra fórmula na página do foguete relativístico diz que, se eu acelerar continuamente, minha mudança final na velocidade no final deve ser v = (a * t) / (sqrt (1 + (a * t / c) ²)), neste case (0.00647 * 141.515) / (sqrt (1 + (0.00647 * 141.515) ²)) = 0.675298 horas-luz / hora, ou seja, 0.675c. E para o segundo caso de horas 96.2, temos (0.00647 * 96.2) / (sqrt (1 + (0.00647 * 96.2) ²)) = 0.528c.
Usando essa mudança de velocidade, o Equação de foguete de Tsiolkovsky pode dizer a razão da massa inicial m₀ (combustível e carga útil) e a massa final m₁ (apenas a carga útil, combustível usado) necessária para obter uma mudança tão grande na velocidade. A fórmula depende da velocidade do escapamento, e não acho que isso seja declarado diretamente em nenhum material da Firefly, mas esta resposta diz que algum material do DVD indicou que os navios da classe Firefly iluminam suas caudas quando viajam devido a um fusão nuclear reação. Portanto, a serenidade é provavelmente um tipo de foguete de fusão, talvez semelhante a Projeto Daedalus em que alguns engenheiros do mundo real tentaram elaborar um plano aproximado para uma sonda espacial interestelar e que usaram uma reação de fusão envolvendo deutério e hélio - 3. O gráfico em esta página indica que esta é uma das melhores reações de fusão em termos de velocidade de escape, com um v_e de cerca de 8.9% da velocidade da luz ou 0.089c (que aliás é muito, muito mais rápida do que qualquer foguete químico como os que temos hoje), então Eu assumi isso nos meus cálculos.
Quando trabalhei, descobri que a massa total do navio, incluindo o combustível no início da viagem, teria que ser cerca de 10,000 vezes mais do que a massa do navio no final da viagem, quando consumia o combustível! Isso sugere que não é muito realista que um navio que pareça ter tanta massa sem combustível quanto a Serenity poderia fazer a viagem sem reabastecer constantemente. Cálculos:
Para o caso relativístico em que as velocidades são uma fração significativa da velocidade da luz, a fórmula que eles dão na página da equação do foguete de Tsiolkovsky é que a mudança na velocidade Delta-v do foguete é igual a:
Delta-v = c * tanh ((v_e / c) * ln (m₀ / m₁))
onde tanh é o função tangente hiperbólica, é o função natural de logaritmo, e v_e é a "velocidade efetiva de exaustão" (e ainda estamos usando as unidades de horas e horas-luz, então c = 1).
Com um pouco de álgebra, você pode resolver isso pela razão (m₀ / m₁), dando:
(m₀ / m₁) = e ^ ((c / v_e) * atanh (Delta-v / c))
onde e é um constante matemáticae atanh é o função tangente hiperbólica inversa (e ^ x é o inverso de ln (x) e atanh (x) é o inverso de tanh (x)). Ambas as funções são reconhecidas por esta calculadora online, então apenas liguei e ^ ((1 / 0.089) * atanh (0.675298)) e obtive uma resposta de 10079 para a proporção de m₀ para m₀.
If anyone wants to play around with different distances (in case Serenity makes shorter hops and refuels) and different exhaust velocities, I'll put all the above equations together into one long one that can just be copy and pasted into the the online calculator to find the ratio of masses before and after using up the fuel, just substitute whatever distance you want for the four D's in the equation (measured in light hours), whatever acceleration you want for the four A's in the equation (where 5.5g = 0.00647, and 1g = 0.00011776), and whatever exhaust velocity you want for the single V in the equation (measured as a fraction of light speed):
e^((1/V) * atanh((A * sqrt((D)² + (2 * D/A)))/(sqrt(1 + (A * sqrt((D)² + (2 * D/A)))²))))
For example, plugging in D=55, A=0.00647, and V=0.089, the calculator gives the same mass ratio of 10079 found earlier.
On the other hand, I suppose you could imagine they use some exotic technology (perhaps the same technology they use to make artificial gravity) to accelerate the exhaust to speeds much faster than real-world fusion reactions, or you could ignore the material on the DVD saying it was fusion and imagine it was something like a matter/antimatter reaction, where the effective exhaust velocity can be close to light speed. For example, if we use the same equation but with an exhaust velocity of 0.9c rather than 0.089c, the ratio of initial mass with fuel to final mass without fuel would just be around 2.5.
Note: That last formula was assuming continuous steady acceleration all the way from departure point to destination, which would result in reaching the destination at a very high speed; a more natural assumption might be to accelerate for the first half of the trip, then decelerate at the same rate for the second half, so you'd come to rest at your destination (you can also imagine a constant-velocity coasting phase in between the end of acceleration and the beginning of deceleration, this wouldn't affect the amount of fuel used). In that case, all you have to do is set the D to be metade the total distance crossed during both acceleration and deceleration--i.e. the distance traveled during the deceleration phase alone--then find the fuel/payload ratio using the above formula, then quadrado the resulting ratio to get the ratio for the whole trip. (Similarly, if you have the final velocity Delta-v at the end of the acceleration phase/beginning of the deceleration phase, then you can use the formula e^((c/v_e) * atanh(Delta-v/c)) I mentioned earlier, which gives the mass ratio as a function of Delta-v and the exhaust velocity v_e, then square the result to get the ratio for the whole trip including both acceleration and deceleration phases.)
If you want to know the rationale for this, start by noting that the formula I posted should work fine for the deceleration phase alone (decelerating at A meters/second² from an initial velocity V to rest requires exactly the same fuel ratio as accelerating at A meters/second² from an initial state of rest to a final velocity of V), so it can tell you how many kilograms of fuel+payload will be needed at the beginning of the deceleration for every kilogram of payload at the end of deceleration. Then the number of kilograms at the beginning of deceleration can be treated as the "payload" mass that needs to be brought up to speed during the first acceleration phase, so you'll have the same ratio as before for fuel+payload to final payload over the course of the acceleration. Thus if the mass at the beginning of deceleration is R times bigger than the final mass at the end of deceleration, and the mass at the beginning of acceleration is also R times bigger than the mass at the end of acceleration (which is also the mass at the beginning of deceleration), then this implies the mass at the beginning of acceleration is R*R = R² times bigger than the mass at the end of deceleration.